經(jīng)常有人問我：學(xué)數(shù)學(xué)要不要刷題?怎么做題效率才能更高?

　　談?wù)撊魏问虑槎嫉糜袀�前提，我寫這篇文章的前提是：學(xué)數(shù)學(xué)是為了拿高分、進名校。所以，有兩種人可以不要看這篇文章。第一種人是投胎技能滿級，擁有一位神奇的爸爸，可以讓自己一路沒有升學(xué)壓力的就讀名校;第二種人是智商屬性超高，任何東西都是看一眼就能熟練掌握。如果您覺得自己不是這兩種人之一，咱們接著往下聊。

　　先回答第一個問題：刷題可以提高熟練度，讓自己在時間極其緊張的考試中拿到高分，所以刷題很有必要。對我輩普通人來說，如果有人膽敢鼓吹既不要專門刷題訓(xùn)練計算能力，也不要做難題，只需要讀一讀科普書，看一看數(shù)學(xué)史，甚至在中學(xué)階段就提前學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，那么這人不是蠢就是壞。碰見這類人，直接操起板磚拍丫的。

　　再回答第二個問題：刷題不能盲目刷，比較高效的方法是吃透一道題的來龍去脈，并且能舉一反三。這是我今天重點要講的內(nèi)容，下面就以兩類數(shù)學(xué)題為例，介紹一種高效的刷題方法。

　　案例一 硬幣轉(zhuǎn)動問題

　　在19年1月11日的文章中(點擊鏈接進入)，我曾經(jīng)詳細講解過一道非常經(jīng)典的題目：

　　有兩個相同大小的硬幣甲和乙，硬幣乙固定不動，硬幣甲圍著乙順時針繞圈回到原位，全程無滑動的，問硬幣甲自身轉(zhuǎn)動了幾圈?

　　這個問題的答案是2圈，我是先從硬幣轉(zhuǎn)過單個角度開始分析，然后擴展到硬幣繞著正n邊形轉(zhuǎn)圈，最后擴展到繞著另外一個硬幣轉(zhuǎn)圈。

　　如果您詳細閱讀了那一篇文章，把上面這道題吃透了，就可以試著拓展到下面這道題，題目來自“12345678”網(wǎng)友，感謝他提供的題目。

　　如圖：15枚相同的硬幣排成一個長方形，另有一個同樣大小的硬幣沿著外圈滾動一周，回到起始位置。問：硬幣自身轉(zhuǎn)動了多少圈?

　　解題過程：如下圖，把轉(zhuǎn)動的硬幣記作硬幣A，把組成長方體的15枚硬幣可以分為三類，第一類是長方形4角處的4枚硬幣，第二類是四條邊上但不含4個角的8枚硬幣，第三類是最中間的4枚硬幣。對于第一類硬幣，A在其中每一枚硬幣上都滾動360-60-60-90=150°;對第二類硬幣，A在其中每一枚硬幣上都滾動60°;對第三類硬幣，與滾動無關(guān)。因此硬幣A沿著外圈滾動一周時，滾動過的角度是150*4+60*8=1080°=3*360°，即硬幣A相當于繞著某一硬幣3圈。根據(jù)上面的例題，每繞1圈，硬幣A自身轉(zhuǎn)動2圈，所以硬幣自身轉(zhuǎn)動了6圈。

　　通過這兩道題目，相信您一定能熟練掌握硬幣繞圓環(huán)外圈轉(zhuǎn)動的問題，類似的，還可以推廣到硬幣繞圓形杯子內(nèi)部轉(zhuǎn)動。這樣刷題，只需要幾道典型題目，就可以徹底掌握這類問題。

　　案例二 m/n的最值問題

　　在前天的文章中(點擊鏈接進入)，我講了下面一個題目：

　　已知a/b和c/d都是正的最簡分數(shù)，且bc-ad=1。m和n是滿足a/b < m/n< c/d的兩個自然數(shù)。求證：m的最小值是a+c，n的最小值是b+d。

　　這個問題的證明是通過求解關(guān)于m和n方程組bm-an=p,cn-dm=q,最后得到m和n的最小值。

　　觀察原題不難發(fā)現(xiàn)，總有一些m滿足條件時，n的取值wei/yi。自然想到這樣的m最大值是多少，這就是前天的思考題，可以抽象為如下題目：

　　已知a/b和c/d都是正的最簡分數(shù)，且bc-ad=1。m和n是滿足a/b < m/n< c/d的兩個自然數(shù)。對m的有些取值，只能找到wei/yi的n使上述大小關(guān)系成立，把這樣的m叫做幸運數(shù)。求證：幸運數(shù)的最大值是2ac。

　　解題過程：只需先讓不等式最左和最右的分子相等，由于a/b=ac/bc,c/d=ac/ad，注意到bc-ad=1,故m=ac時沒有滿足條件的n，接著讓m=2ac,此時n的取值wei/yi且是2bc-1=bc+ad。如果m再大一點，n的取值就不再wei/yi。所以幸運數(shù)的最大取值是2ac。

　　這道題還可以繼續(xù)推廣為：

　　已知a/b和c/d都是正的最簡分數(shù)，且bc-ad=1。m和n是滿足a/b < m/n< c/d的兩個自然數(shù)。對n的有些取值，只能找到wei/yi的m使上述大小關(guān)系成立，把這樣的m叫做快樂數(shù)。求證：快樂數(shù)的最大值是2bd。

　　證明過程類似于上面的題目，在此不再贅述。

　　如果能吃透上面的3道題，這類題目想必不會再有問題。這樣的刷題方式，你能說它不香?

　　最后，給出一道思考題。

　　思考題(4星難度):

　　正實數(shù)x,y的和是1，求證：1/(x2021+1)+1/(y2021+1)>1.5。

　　歡迎把您的答案寫在留言區(qū)，如果沒有人給出正確解答，明天上午我將在公眾號推送昨天和今天這道題的詳細解答。

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