2015華約數(shù)學(xué)模擬試題（滿分150分）

使向量c?a?(tan2?3)b,d??ma?btan?,且c?d.

(I)求函數(shù)m?f(?)的關(guān)系式;(II)令t?tan?,求函數(shù)m?g(t)的極值.

24.已知雙曲線的兩個焦點分別為F1,F2,其中F1又是拋物線y?4x的焦點,點A(?1,2),

B(3,2)在雙曲線上.

(I)求點F2的軌跡方程;(II)是否存在直線y?x?m與點F2的軌跡有且只有兩個公共點?若存在,求實數(shù)m的值,若不存在,請說明理由.

5.已知a，b均為正整數(shù)，且a?b,sin??

對一切n?N*，An均為整數(shù)

2ab?(其中0???),An?(a2?b2)n?sinn?,求證：222a?b

參考答案

一、選擇題

22221.由tan??2,得sin??2cos?,有sin??4cos?,即1?cos??4cos?.則cos??212222,原式=16cos??6cos??5cos??5cos??1.5

2.設(shè)x?a?bi,a,b?R,代入原方程整理得(2a2?2b2?5a?6?b)?(4ab?a?5b)i?0

3?a??2a2?2b2?5a?6?b?0?a?1?33?2有?,解得?或?,所以x?1?i或x??i.22?b?1?b??3?4ab?a?5b?0

??2

3.直接求x的個位數(shù)字很困難，需將與x相關(guān)數(shù)聯(lián)系，轉(zhuǎn)化成研究其相關(guān)數(shù).【解】令y?(15?220)19?(15?220)82,則x?y?[(15?220)19?(15?220)82]?[(15?220)19?(15?220)82]，由二項式定理知，對任意正整數(shù)n.

2(15?220)n?(15?220)n?2(15n?Cn?15n?2?220??)為整數(shù)，且個

位數(shù)字為零.

因此，x?y是個位數(shù)字為零的整數(shù).再對y估值，因為0?15?220?5

15?220?58819?0.2，且(15?220)?(15?220)，25

所以0?y?2(15?220)19?2?0.219?0.4.故x的個位數(shù)字為9.

【評述】轉(zhuǎn)化的思想很重要，當(dāng)研究的問題遇到困難時，將其轉(zhuǎn)化為可研究的問題.

4.解：被7除余2的數(shù)可寫為7k?2.由100≤7k?2≤600.知14≤k≤85.

57n?2n?2?8n?.77

即n?2應(yīng)為7的倍數(shù).設(shè)n?7m?2代入，得k?57m?16.∴14?57m?16?85.∴m=0,1.于是所求的個數(shù)為70．

x?2?0y?2?(?1)5.設(shè)點P(x0,y0),M(x,y),有x?0,y?0,得x0?3x,y0?3y?233又若某個k使7k?2能被57整除，則可設(shè)7k?2=57n.即k?

而y0?4y0?4x0?0,于是得點M的軌跡方程是9y?12x?4?0.22

二、解答題

1.解：A?x?1?x?3，B?x?x?a??x?3a??0．????

??

當(dāng)a?0時，B??x3a?x?a?0?，由A當(dāng)a?0時，B?x0?a?x?3a，由AB??得0?a?3；B??得a??1；

2當(dāng)a?0時，B?xx?0??，與A??B??不符．

綜上所述，a???1,0??0,3?

2.證明：假設(shè)該校共有m個班級，他們的建議分別組成集合A1,A2,?,Am。這些集合中沒有兩個相同（因為沒有兩個班級提出全部相同的建議），而任何兩個集合都有相同的元素，因此任何一個集合都不是另外一個集合的補集。這樣在A1,A2,?,Am中至多有A（所有P條建議所組成的集合）的1?2P?2P?1個子集，所以m?2P?1.2

3.解:(I)由c?

d,a?b?

211?0,得c?d?[a?(tan2??3)b]?[?ma?btan?]2223=?ma?(tan3??3tan?)b?0,即ma?(tan??3tan?)b,得21??(tan3??3tan?)(????).422

13(II)由tan??t,得m?g(t)?(t?3t),t?R4

32'''求導(dǎo)得m?g(t)?(t?1),令g(t)?0,得t1??1,t2?14m?

當(dāng)t?(??,?1),g'(t)?0,g(t)為增函數(shù);當(dāng)t?(?1,1)時,g'(t)?0,g(t)為減函數(shù);當(dāng)t?(1,??)時,g(t)?0,g(t)為增函數(shù).

所以當(dāng)t??1,即???

值?'?4時,m?g(t)有極大值1?;當(dāng)t?1,即??時,m?g(t)有極小241.2

4

．解:(I)F1(1,0),AF1?BF2?設(shè)F2(x,y)則

AF1?AF2?BF1?BF2?2a?0,去掉絕對值號有兩種情況,分別得F2的軌跡

(x?1)2(y?2)2

??1(y?0,y?4)方程為x?1和84

(x?1)2(y?2)2

??1(II)直線l1:x?1,l2:y?x?m,D(1,4),橢圓Q:84

①若l2過點F1或D,由F1,D兩點既在直線l1上,又在橢圓Q上,但不在F2的軌跡上,知l2與F2的軌跡只有一個公共點,不合題意.

②若l2不過F1,D兩點(m??1,m?3).則l2與l1必有一個公共點E,且點E不在橢圓Q上,所以要使l2與F2的軌跡有且只有兩個公共點,必須使l2與Q有且只有一個公共點,把y?x?m代入橢圓的方程并整理得3x2?(10?4m)x?2m2?8m?1?0

由??0,

得m?1?5.【思路分析】由sinn?聯(lián)想到復(fù)數(shù)棣莫佛定理，復(fù)數(shù)需要cos?，然后分析An與復(fù)數(shù)的關(guān)系.2ab?a2?b2

2【證明】因為sin??2,且0???,a?b,所以cos???sin??2.222a?ba?b

顯然sinn?為(cos??isin?)n的虛部，由于(cos??isin?)n22a?b2ab11n222n?(?i)?(a?b?2abi)?(a?bi).222222n22na?ba?b(a?b)(a?b)

所以(a2?b2)n(cosn??isinn?)?(a?bi)2n.從而An?(a2?b2)nsinn?為(a?bi)2n的虛部.因為a,b為整數(shù)，根據(jù)二項式定理，(a?bi)2n的虛部當(dāng)然也為整數(shù)，所以對一切n?N*，An為整數(shù).

【評述】把An為與復(fù)數(shù)(cos??isin?)聯(lián)系在一起是本題的關(guān)鍵n

參考答案

一、選擇題

22221.由tan??2,得sin??2cos?,有sin??4cos?,即1?cos??4cos?.則cos??212222,原式=16cos??6cos??5cos??5cos??1.5

2.設(shè)x?a?bi,a,b?R,代入原方程整理得(2a2?2b2?5a?6?b)?(4ab?a?5b)i?0

3?a??2a2?2b2?5a?6?b?0?a?1?33?2有?,解得?或?,所以x?1?i或x??i.22?b?1?b??3?4ab?a?5b?0

??2

3.直接求x的個位數(shù)字很困難，需將與x相關(guān)數(shù)聯(lián)系，轉(zhuǎn)化成研究其相關(guān)數(shù).【解】令y?(15?220)19?(15?220)82,則x?y?[(15?220)19?(15?220)82]?[(15?220)19?(15?220)82]，由二項式定理知，對任意正整數(shù)n.

2(15?220)n?(15?220)n?2(15n?Cn?15n?2?220??)為整數(shù)，且個

位數(shù)字為零.

因此，x?y是個位數(shù)字為零的整數(shù).再對y估值，因為0?15?220?5

15?220?58819?0.2，且(15?220)?(15?220)，25

所以0?y?2(15?220)19?2?0.219?0.4.故x的個位數(shù)字為9.

【評述】轉(zhuǎn)化的思想很重要，當(dāng)研究的問題遇到困難時，將其轉(zhuǎn)化為可研究的問題.

4.解：被7除余2的數(shù)可寫為7k?2.由100≤7k?2≤600.知14≤k≤85.

57n?2n?2?8n?.77

即n?2應(yīng)為7的倍數(shù).設(shè)n?7m?2代入，得k?57m?16.∴14?57m?16?85.∴m=0,1.于是所求的個數(shù)為70．

x?2?0y?2?(?1)5.設(shè)點P(x0,y0),M(x,y),有x?0,y?0,得x0?3x,y0?3y?233又若某個k使7k?2能被57整除，則可設(shè)7k?2=57n.即k?

而y0?4y0?4x0?0,于是得點M的軌跡方程是9y?12x?4?0.22

二、解答題

1.解：A?x?1?x?3，B?x?x?a??x?3a??0．????

??

當(dāng)a?0時，B??x3a?x?a?0?，由A當(dāng)a?0時，B?x0?a?x?3a，由AB??得0?a?3；B??得a??1；

2當(dāng)a?0時，B?xx?0??，與A??B??不符．

綜上所述，a???1,0??0,3?

2.證明：假設(shè)該校共有m個班級，他們的建議分別組成集合A1,A2,?,Am。這些集合中沒有兩個相同（因為沒有兩個班級提出全部相同的建議），而任何兩個集合都有相同的元素，因此任何一個集合都不是另外一個集合的補集。這樣在A1,A2,?,Am中至多有A（所有P條建議所組成的集合）的1?2P?2P?1個子集，所以m?2P?1.2

3.解:(I)由c?

d,a?b?

211?0,得c?d?[a?(tan2??3)b]?[?ma?btan?]2223=?ma?(tan3??3tan?)b?0,即ma?(tan??3tan?)b,得21??(tan3??3tan?)(????).422

13(II)由tan??t,得m?g(t)?(t?3t),t?R4

32'''求導(dǎo)得m?g(t)?(t?1),令g(t)?0,得t1??1,t2?14m?

當(dāng)t?(??,?1),g'(t)?0,g(t)為增函數(shù);當(dāng)t?(?1,1)時,g'(t)?0,g(t)為減函數(shù);當(dāng)t?(1,??)時,g(t)?0,g(t)為增函數(shù).

所以當(dāng)t??1,即???

值?'?4時,m?g(t)有極大值1?;當(dāng)t?1,即??時,m?g(t)有極小241.2

4

．解:(I)F1(1,0),AF1?BF2?設(shè)F2(x,y)則

AF1?AF2?BF1?BF2?2a?0,去掉絕對值號有兩種情況,分別得F2的軌跡

(x?1)2(y?2)2

??1(y?0,y?4)方程為x?1和84

(x?1)2(y?2)2

??1(II)直線l1:x?1,l2:y?x?m,D(1,4),橢圓Q:84

①若l2過點F1或D,由F1,D兩點既在直線l1上,又在橢圓Q上,但不在F2的軌跡上,知l2與F2的軌跡只有一個公共點,不合題意.

②若l2不過F1,D兩點(m??1,m?3).則l2與l1必有一個公共點E,且點E不在橢圓Q上,所以要使l2與F2的軌跡有且只有兩個公共點,必須使l2與Q有且只有一個公共點,把y?x?m代入橢圓的方程并整理得3x2?(10?4m)x?2m2?8m?1?0

由??0,

得m?1?5.【思路分析】由sinn?聯(lián)想到復(fù)數(shù)棣莫佛定理，復(fù)數(shù)需要cos?，然后分析An與復(fù)數(shù)的關(guān)系.2ab?a2?b2

2【證明】因為sin??2,且0???,a?b,所以cos???sin??2.222a?ba?b

顯然sinn?為(cos??isin?)n的虛部，由于(cos??isin?)n22a?b2ab11n222n?(?i)?(a?b?2abi)?(a?bi).222222n22na?ba?b(a?b)(a?b)

所以(a2?b2)n(cosn??isinn?)?(a?bi)2n.從而An?(a2?b2)nsinn?為(a?bi)2n的虛部.因為a,b為整數(shù)，根據(jù)二項式定理，(a?bi)2n的虛部當(dāng)然也為整數(shù)，所以對一切n?N*，An為整數(shù).

【評述】把An為與復(fù)數(shù)(cos??isin?)聯(lián)系在一起是本題的關(guān)鍵n

2當(dāng)a?0時，B?xx?0??，與A??B??不符．

綜上所述，a???1,0??0,3?

2.證明：假設(shè)該校共有m個班級，他們的建議分別組成集合A1,A2,?,Am。這些集合中沒有兩個相同（因為沒有兩個班級提出全部相同的建議），而任何兩個集合都有相同的元素，因此任何一個集合都不是另外一個集合的補集。這樣在A1,A2,?,Am中至多有A（所有P條建議所組成的集合）的1?2P?2P?1個子集，所以m?2P?1.2

3.解:(I)由c?

d,a?b?

211?0,得c?d?[a?(tan2??3)b]?[?ma?btan?]2223=?ma?(tan3??3tan?)b?0,即ma?(tan??3tan?)b,得21??(tan3??3tan?)(????).422

13(II)由tan??t,得m?g(t)?(t?3t),t?R4

32'''求導(dǎo)得m?g(t)?(t?1),令g(t)?0,得t1??1,t2?14m?

當(dāng)t?(??,?1),g'(t)?0,g(t)為增函數(shù);當(dāng)t?(?1,1)時,g'(t)?0,g(t)為減函數(shù);當(dāng)t?(1,??)時,g(t)?0,g(t)為增函數(shù).

所以當(dāng)t??1,即???

值?'?4時,m?g(t)有極大值1?;當(dāng)t?1,即??時,m?g(t)有極小241.2

4

．解:(I)F1(1,0),AF1?BF2?設(shè)F2(x,y)則

AF1?AF2?BF1?BF2?2a?0,去掉絕對值號有兩種情況,分別得F2的軌跡

(x?1)2(y?2)2

??1(y?0,y?4)方程為x?1和84

(x?1)2(y?2)2

??1(II)直線l1:x?1,l2:y?x?m,D(1,4),橢圓Q:84

①若l2過點F1或D,由F1,D兩點既在直線l1上,又在橢圓Q上,但不在F2的軌跡上,知l2與F2的軌跡只有一個公共點,不合題意.

②若l2不過F1,D兩點(m??1,m?3).則l2與l1必有一個公共點E,且點E不在橢圓Q上,所以要使l2與F2的軌跡有且只有兩個公共點,必須使l2與Q有且只有一個公共點,把y?x?m代入橢圓的方程并整理得3x2?(10?4m)x?2m2?8m?1?0

由??0,

得m?1?5.【思路分析】由sinn?聯(lián)想到復(fù)數(shù)棣莫佛定理，復(fù)數(shù)需要cos?，然后分析An與復(fù)數(shù)的關(guān)系.2ab?a2?b2

2【證明】因為sin??2,且0???,a?b,所以cos???sin??2.222a?ba?b

顯然sinn?為(cos??isin?)n的虛部，由于(cos??isin?)n22a?b2ab11n222n?(?i)?(a?b?2abi)?(a?bi).222222n22na?ba?b(a?b)(a?b)

所以(a2?b2)n(cosn??isinn?)?(a?bi)2n.從而An?(a2?b2)nsinn?為(a?bi)2n的虛部.因為a,b為整數(shù)，根據(jù)二項式定理，(a?bi)2n的虛部當(dāng)然也為整數(shù)，所以對一切n?N*，An為整數(shù).

【評述】把An為與復(fù)數(shù)(cos??isin?)聯(lián)系在一起是本題的關(guān)鍵n

②若l2不過F1,D兩點(m??1,m?3).則l2與l1必有一個公共點E,且點E不在橢圓Q上,所以要使l2與F2的軌跡有且只有兩個公共點,必須使l2與Q有且只有一個公共點,把y?x?m代入橢圓的方程并整理得3x2?(10?4m)x?2m2?8m?1?0

由??0,

得m?1?5.【思路分析】由sinn?聯(lián)想到復(fù)數(shù)棣莫佛定理，復(fù)數(shù)需要cos?，然后分析An與復(fù)數(shù)的關(guān)系.2ab?a2?b2

2【證明】因為sin??2,且0???,a?b,所以cos???sin??2.222a?ba?b

顯然sinn?為(cos??isin?)n的虛部，由于(cos??isin?)n22a?b2ab11n222n?(?i)?(a?b?2abi)?(a?bi).222222n22na?ba?b(a?b)(a?b)

所以(a2?b2)n(cosn??isinn?)?(a?bi)2n.從而An?(a2?b2)nsinn?為(a?bi)2n的虛部.因為a,b為整數(shù)，根據(jù)二項式定理，(a?bi)2n的虛部當(dāng)然也為整數(shù)，所以對一切n?N*，An為整數(shù).

【評述】把An為與復(fù)數(shù)(cos??isin?)聯(lián)系在一起是本題的關(guān)鍵n

2015華約數(shù)學(xué)模擬試題（滿分150分）

使向量c?a?(tan2?3)b,d??ma?btan?,且c?d.

(I)求函數(shù)m?f(?)的關(guān)系式;(II)令t?tan?,求函數(shù)m?g(t)的極值.

24.已知雙曲線的兩個焦點分別為F1,F2,其中F1又是拋物線y?4x的焦點,點A(?1,2),

B(3,2)在雙曲線上.

(I)求點F2的軌跡方程;(II)是否存在直線y?x?m與點F2的軌跡有且只有兩個公共點?若存在,求實數(shù)m的值,若不存在,請說明理由.

5.已知a，b均為正整數(shù)，且a?b,sin??

對一切n?N*，An均為整數(shù)

2ab?(其中0???),An?(a2?b2)n?sinn?,求證：222a?b

參考答案

一、選擇題

22221.由tan??2,得sin??2cos?,有sin??4cos?,即1?cos??4cos?.則cos??212222,原式=16cos??6cos??5cos??5cos??1.5

2.設(shè)x?a?bi,a,b?R,代入原方程整理得(2a2?2b2?5a?6?b)?(4ab?a?5b)i?0

3?a??2a2?2b2?5a?6?b?0?a?1?33?2有?,解得?或?,所以x?1?i或x??i.22?b?1?b??3?4ab?a?5b?0

??2

3.直接求x的個位數(shù)字很困難，需將與x相關(guān)數(shù)聯(lián)系，轉(zhuǎn)化成研究其相關(guān)數(shù).【解】令y?(15?220)19?(15?220)82,則x?y?[(15?220)19?(15?220)82]?[(15?220)19?(15?220)82]，由二項式定理知，對任意正整數(shù)n.

2(15?220)n?(15?220)n?2(15n?Cn?15n?2?220??)為整數(shù)，且個

位數(shù)字為零.

因此，x?y是個位數(shù)字為零的整數(shù).再對y估值，因為0?15?220?5

15?220?58819?0.2，且(15?220)?(15?220)，25

所以0?y?2(15?220)19?2?0.219?0.4.故x的個位數(shù)字為9.

【評述】轉(zhuǎn)化的思想很重要，當(dāng)研究的問題遇到困難時，將其轉(zhuǎn)化為可研究的問題.

4.解：被7除余2的數(shù)可寫為7k?2.由100≤7k?2≤600.知14≤k≤85.

57n?2n?2?8n?.77

即n?2應(yīng)為7的倍數(shù).設(shè)n?7m?2代入，得k?57m?16.∴14?57m?16?85.∴m=0,1.于是所求的個數(shù)為70．

x?2?0y?2?(?1)5.設(shè)點P(x0,y0),M(x,y),有x?0,y?0,得x0?3x,y0?3y?233又若某個k使7k?2能被57整除，則可設(shè)7k?2=57n.即k?

而y0?4y0?4x0?0,于是得點M的軌跡方程是9y?12x?4?0.22

二、解答題

1.解：A?x?1?x?3，B?x?x?a??x?3a??0．????

??

當(dāng)a?0時，B??x3a?x?a?0?，由A當(dāng)a?0時，B?x0?a?x?3a，由AB??得0?a?3；B??得a??1；

2當(dāng)a?0時，B?xx?0??，與A??B??不符．

綜上所述，a???1,0??0,3?

2.證明：假設(shè)該校共有m個班級，他們的建議分別組成集合A1,A2,?,Am。這些集合中沒有兩個相同（因為沒有兩個班級提出全部相同的建議），而任何兩個集合都有相同的元素，因此任何一個集合都不是另外一個集合的補集。這樣在A1,A2,?,Am中至多有A（所有P條建議所組成的集合）的1?2P?2P?1個子集，所以m?2P?1.2

3.解:(I)由c?

d,a?b?

211?0,得c?d?[a?(tan2??3)b]?[?ma?btan?]2223=?ma?(tan3??3tan?)b?0,即ma?(tan??3tan?)b,得21??(tan3??3tan?)(????).422

13(II)由tan??t,得m?g(t)?(t?3t),t?R4

32'''求導(dǎo)得m?g(t)?(t?1),令g(t)?0,得t1??1,t2?14m?

當(dāng)t?(??,?1),g'(t)?0,g(t)為增函數(shù);當(dāng)t?(?1,1)時,g'(t)?0,g(t)為減函數(shù);當(dāng)t?(1,??)時,g(t)?0,g(t)為增函數(shù).

所以當(dāng)t??1,即???

值?'?4時,m?g(t)有極大值1?;當(dāng)t?1,即??時,m?g(t)有極小241.2

4

．解:(I)F1(1,0),AF1?BF2?設(shè)F2(x,y)則

AF1?AF2?BF1?BF2?2a?0,去掉絕對值號有兩種情況,分別得F2的軌跡

(x?1)2(y?2)2

??1(y?0,y?4)方程為x?1和84

(x?1)2(y?2)2

??1(II)直線l1:x?1,l2:y?x?m,D(1,4),橢圓Q:84

①若l2過點F1或D,由F1,D兩點既在直線l1上,又在橢圓Q上,但不在F2的軌跡上,知l2與F2的軌跡只有一個公共點,不合題意.

②若l2不過F1,D兩點(m??1,m?3).則l2與l1必有一個公共點E,且點E不在橢圓Q上,所以要使l2與F2的軌跡有且只有兩個公共點,必須使l2與Q有且只有一個公共點,把y?x?m代入橢圓的方程并整理得3x2?(10?4m)x?2m2?8m?1?0

由??0,

得m?1?5.【思路分析】由sinn?聯(lián)想到復(fù)數(shù)棣莫佛定理，復(fù)數(shù)需要cos?，然后分析An與復(fù)數(shù)的關(guān)系.2ab?a2?b2

2【證明】因為sin??2,且0???,a?b,所以cos???sin??2.222a?ba?b

顯然sinn?為(cos??isin?)n的虛部，由于(cos??isin?)n22a?b2ab11n222n?(?i)?(a?b?2abi)?(a?bi).222222n22na?ba?b(a?b)(a?b)

所以(a2?b2)n(cosn??isinn?)?(a?bi)2n.從而An?(a2?b2)nsinn?為(a?bi)2n的虛部.因為a,b為整數(shù)，根據(jù)二項式定理，(a?bi)2n的虛部當(dāng)然也為整數(shù)，所以對一切n?N*，An為整數(shù).

【評述】把An為與復(fù)數(shù)(cos??isin?)聯(lián)系在一起是本題的關(guān)鍵n

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