2014北約自主招生數(shù)學(xué)試題及詳解(含文、理)
學(xué)試題及詳解(含文、理))
今年北約自招筆試已落下帷幕，從試題的整體難度來(lái)看，它不像我們平時(shí)覺得的有競(jìng)賽的難度，與往年相比難度也是大有降低，具體體現(xiàn)在試題中的前六道，屬于高考基本題型，只要準(zhǔn)備過(guò)自招考試的基本能拿滿分，但也要熟悉反三角函數(shù)的處理以及無(wú)理性的證明思路.
有區(qū)分度的點(diǎn)在最后三道，最后一題屬于不等式的延伸內(nèi)容，北約的考試尤其是解答題從來(lái)都不是基于課內(nèi)知識(shí)點(diǎn)的反復(fù)強(qiáng)調(diào)和訓(xùn)練，往往來(lái)源于一些很基本的甚至是近似于數(shù)學(xué)常識(shí)的知識(shí)，比如去年考試中“任意三個(gè)數(shù)的和都是質(zhì)數(shù)”的理解，和今年證明是無(wú)理數(shù)這樣的問(wèn)題，都屬于不強(qiáng)調(diào)復(fù)雜的計(jì)算，只求看清楚問(wèn)題的本質(zhì)的處理手法。去年和今年也都考察了對(duì)數(shù)列的理解，去年考察奇偶項(xiàng)和的理解，今年考察對(duì)數(shù)項(xiàng)形式的分析，所以北約的數(shù)學(xué)試題做起來(lái)如果很繁瑣，說(shuō)明往往已經(jīng)偏離了命題人的基本想法。下面附上試題及解析，供考完的對(duì)照以及明年參加北約考試的孩子參考。希望對(duì)同學(xué)們有所幫助.
2014北約理科數(shù)學(xué)試題
1、圓心角為?的扇形面積為6?,求它圍成圓錐的表面積.3
1【解析】S扇??R2,?R?6,l??R?2?,從而圓錐底面周長(zhǎng)為2
2??2?r,?S底??r2??,S?6????7?.
2、將10個(gè)人分成3組，一組4人，兩組各3人，求共有幾種分法.
C4?C63?C33【解析】平均分堆問(wèn)題.10?2100.2!
?a?2b?f?a??2f?b?,f?1??1,f?4??7,求f?2014?.3、f???3?3?
【解析】觀察等式可知，函數(shù)顯然為線性一次函數(shù)，可設(shè)f?x??kx?m,f?1??1,f?4??7代
入求得k?2,m??1,從而f?2014??4027.
4、f?x??lg?x2?2ax?a?的值域?yàn)镽,求a的取值范圍.
【解析】值域問(wèn)題.??4a2?4a?0,?a?1或a?0.
5、已知x?y??1,且x,y都為負(fù)實(shí)數(shù)，求xy?1的取值范圍.xy
1171【解析】均值不等式，對(duì)勾函數(shù)性質(zhì).1???x???
?y???0?xy?,從而xy??.xy44
6、f?x??arctan
2?2x?11?
?C在??,?上為奇函數(shù)，求C的值.1?4x?44?
【解析】f?0??0,?C??arctan2.下面證明：
f?x??f??x??arctan
2?2x2?2x?4?
?arctan?2C?arctan????2arctan2?0.1?4x1?4x?3?
7、求證：tan3??Q.
【解析】反證法.假設(shè)tan3??Q,則tan6??Q,?tan12??Q,?tan24??Q,從而tan30??Q,矛
盾.?tan3??Q.
8、已知實(shí)系數(shù)二次函數(shù)f?x?與g?x?,f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有兩重根，f?x?有兩相異實(shí)根，求證：g?x?沒有實(shí)根.
【解析】設(shè)f?x??ax2?bx?c,g?x??dx2?ex?f,
則由f?x??g?x?，可得
?a?d?x2??b?e?x??c?f??0,???b?e?
由3f?x??g?x??0可得
2
?4?a?d??c?f??0.
?3a?d?x2??3b?e?x??3c?f??0,???3b?e?
2
?4?3a?d??3c?f??0.
化簡(jiǎn)得3b2?e2?12ac?4df,即e2?4df?3?4ac?b2?又b2?4ac?0.
?e2?4df?0.?g?x?沒有實(shí)根.
716
M??ai?aj?ak|1?i?j?k?13?,問(wèn)：9、a1a2......a13是等差數(shù)列，0,,是否可以同時(shí)在M
23
中，并證明你的結(jié)論.
【解析】數(shù)列中的項(xiàng).分析M中項(xiàng)的構(gòu)成，若按照從小到大的順序排列，最小的項(xiàng)為
n
n
10、xi?0?i?1,2,...n?,
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xi?1.求證：?
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【解析】不等式；柯西不等式或AM?GM平均不等式.法一：AM?GM不等式.
調(diào)和平均值
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法二：由?
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i?1.及要證的結(jié)論分析，由柯西不等式得
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1，
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2
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11
從而可設(shè)yi?，且?yi?
??1.從而本題也即證?
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假設(shè)原式不成立，即?
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?1
，矛盾.得證.
2014北約文科數(shù)學(xué)試題
1、圓心角為
?
的扇形面積為6?,求它圍成圓錐的表面積.3
1
【解析】S扇??R2,?R?6,l??R?2?,從而圓錐底面周長(zhǎng)為
2
2??2?r,?S底??r2??,S?6????7?.
2、將10個(gè)人分成3組，一組4人，兩組各3人，求共有幾種分法.
C4?C63?C33
【解析】平均分堆問(wèn)題.10?2100.
2!
?a?2b?f?a??2f?b?,f?1??1,f?4??7,求f?2014?.3、f???
3?3?
【解析】觀察等式可知，函數(shù)顯然為線性一次函數(shù)，可設(shè)f?x??kx?m,f?1??1,f?4??7代
入求得k?2,m??1,從而f?2014??4027.
4、f?x??lg?x2?2ax?a?的值域?yàn)镽,求a的取值范圍.【解析】值域問(wèn)題.??4a2?4a?0,?a?1或a?0.
5、已知x?y??1,且x,y都為負(fù)實(shí)數(shù)，求xy?
1
的取值范圍.xy
1171
【解析】均值不等式，對(duì)勾函數(shù)性質(zhì).1???x???
?y???0?xy?,從而xy??.
xy44
6、f?x??arctan
2?2x?11?
?C在??,?上為奇函數(shù)，求C的值.1?4x?44?
【解析】f?0??0,?C??arctan2.下面證明：
f?x??f??x??arctan
2?2x2?2x?4?
?arctan?2C?arctan????2arctan2?0.1?4x1?4x?3?
7、等比數(shù)列?4n?1??1?n?200?,?6m?3??1?m?200?的公共項(xiàng)之和.【解析】此題考察數(shù)的同余問(wèn)題；設(shè)公共項(xiàng)為a，a?1mod(4),a?3mod(6).
易得a最小的數(shù)為9.4和6的最小公倍數(shù)為12,則a?9?12k,k?N.
9?12k?4?200?1,?k?66.?公共項(xiàng)之和為S?
8、梯形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為5和7，高是3,求梯形的面積.【解析】如圖，梯形面積為S?
S?
67?9?801?
2
?27135.
11
?AB?CD?h??DF?
EC?h，易求得DF?EC?4,22
11
?
DF?EC?h?4?3?6?22
?
A
B
D
E
F
9、求證：tan3??Q.
【解析】反證法.假設(shè)tan3??Q,則tan6??Q,?tan12??Q,?tan24??Q,從而tan30??Q,矛
盾.?tan3??Q.
10、已知實(shí)系數(shù)二次函數(shù)f?x?與g?x?,f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有兩重根，f?x?有兩相異實(shí)根，求證：g?x?沒有實(shí)根.
【解析】設(shè)f?x??ax2?bx?c,g?x??dx2?ex?f,
則由f?x??g?x?，可得
?a?d?x2??b?e?x??c?f??0,???b?e?
由3f?x??g?x??0可得
2
?4?a?d??c?f??0.
?3a?d?x2??3b?e?x??3c?f??0,???3b?e?
2
?4?3a?d??3c?f??0.
化簡(jiǎn)得3b2?e2?12ac?4df,即e2?4df?3?4ac?b2?又b2?4ac?0.
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從而可設(shè)yi?，且?yi?
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2014北約文科數(shù)學(xué)試題
1、圓心角為
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的扇形面積為6?,求它圍成圓錐的表面積.3
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【解析】S扇??R2,?R?6,l??R?2?,從而圓錐底面周長(zhǎng)為
2
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2、將10個(gè)人分成3組，一組4人，兩組各3人，求共有幾種分法.
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【解析】平均分堆問(wèn)題.10?2100.
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【解析】觀察等式可知，函數(shù)顯然為線性一次函數(shù)，可設(shè)f?x??kx?m,f?1??1,f?4??7代
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4、f?x??lg?x2?2ax?a?的值域?yàn)镽,求a的取值范圍.【解析】值域問(wèn)題.??4a2?4a?0,?a?1或a?0.
5、已知x?y??1,且x,y都為負(fù)實(shí)數(shù)，求xy?
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7、等比數(shù)列?4n?1??1?n?200?,?6m?3??1?m?200?的公共項(xiàng)之和.【解析】此題考察數(shù)的同余問(wèn)題；設(shè)公共項(xiàng)為a，a?1mod(4),a?3mod(6).
易得a最小的數(shù)為9.4和6的最小公倍數(shù)為12,則a?9?12k,k?N.
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8、梯形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為5和7，高是3,求梯形的面積.【解析】如圖，梯形面積為S?
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9、求證：tan3??Q.
【解析】反證法.假設(shè)tan3??Q,則tan6??Q,?tan12??Q,?tan24??Q,從而tan30??Q,矛
盾.?tan3??Q.
10、已知實(shí)系數(shù)二次函數(shù)f?x?與g?x?,f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有兩重根，f?x?有兩相異實(shí)根，求證：g?x?沒有實(shí)根.
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2014北約文科數(shù)學(xué)試題
1、圓心角為?的扇形面積為6?,求它圍成圓錐的表面積.3
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2、將10個(gè)人分成3組，一組4人，兩組各3人，求共有幾種分法.
C4?C63?C33【解析】平均分堆問(wèn)題.10?2100.2!
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【解析】觀察等式可知，函數(shù)顯然為線性一次函數(shù)，可設(shè)f?x??kx?m,f?1??1,f?4??7代
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4、f?x??lg?x2?2ax?a?的值域?yàn)镽,求a的取值范圍.
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6、f?x??arctan2?2x?11??C在??,?上為奇函數(shù)，求C的值.1?4x?44?
【解析】f?0??0,?C??arctan2.下面證明：
f?x??f??x??arctan2?2x2?2x?4??arctan?2C?arctan????2arctan2?0.1?4x1?4x?3?
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【解析】此題考察數(shù)的同余問(wèn)題；設(shè)公共項(xiàng)為a，a?1mod(4),a?3mod(6).
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8、梯形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為5和7，高是3,求梯形的面積.【解析】如圖，梯形面積為S?
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8、梯形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為5和7，高是3,求梯形的面積.【解析】如圖，梯形面積為S?
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2014北約理科數(shù)學(xué)試題
1、圓心角為
?
的扇形面積為6?,求它圍成圓錐的表面積.3
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【解析】S扇??R2,?R?6,l??R?2?,從而圓錐底面周長(zhǎng)為
2
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4、f?x??lg?x2?2ax?a?的值域?yàn)镽,求a的取值范圍.【解析】值域問(wèn)題.??4a2?4a?0,?a?1或a?0.
5、已知x?y??1,且x,y都為負(fù)實(shí)數(shù)，求xy?
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xy44
6、f?x??arctan
2?2x?11?
?C在??,?上為奇函數(shù)，求C的值.1?4x?44?
【解析】f?0??0,?C??arctan2.下面證明：
f?x??f??x??arctan
2?2x2?2x?4?
?arctan?2C?arctan????2arctan2?0.1?4x1?4x?3?
7、求證：tan3??Q.
【解析】反證法.假設(shè)tan3??Q,則tan6??Q,?tan12??Q,?tan24??Q,從而tan30??Q,矛
盾.?tan3??Q.
8、已知實(shí)系數(shù)二次函數(shù)f?x?與g?x?,f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有兩重根，f?x?有兩相異實(shí)根，求證：g?x?沒有實(shí)根.
【解析】設(shè)f?x??ax2?bx?c,g?x??dx2?ex?f,
則由f?x??g?x?，可得
?a?d?x2??b?e?x??c?f??0,???b?e?
由3f?x??g?x??0可得
2
?4?a?d??c?f??0.
?3a?d?x2??3b?e?x??3c?f??0,???3b?e?
2
?4?3a?d??3c?f??0.
化簡(jiǎn)得3b2?e2?12ac?4df,即e2?4df?3?4ac?b2?又b2?4ac?0.
?e2?4df?0.?g?x?沒有實(shí)根.
716
M??ai?aj?ak|1?i?j?k?13?,問(wèn)：9、a1a2......a13是等差數(shù)列，0,,是否可以同時(shí)在M
23
中，并證明你的結(jié)論.
【解析】數(shù)列中的項(xiàng).分析M中項(xiàng)的構(gòu)成，若按照從小到大的順序排列，最小的項(xiàng)為
n
n
10、xi?0?i?1,2,...n?,
?
xi?1.求證：?
i?1
i?1
xi?
?1.
?
n
【解析】不等式；柯西不等式或AM?GM平均不等式.法一：AM?GM不等式.
調(diào)和平均值
Hn?
n??in
?
?Gn?
?
n??in??n
?
??in
???i?
1n
??inn???i
?
?n，
即
1
?
?ni?1
，即
1??
i
?
n
n
xi
1?xi??
xi??
法二：由?
x
i?1.及要證的結(jié)論分析，由柯西不等式得
?n
1，
?
2
n
nn
11
從而可設(shè)yi?，且?yi?
??1.從而本題也即證?
xii?1i
?1i?1xi
yi?
?1.
?
從而?
i
n
1?xi?
?
xi??1
?
2n
，即?
i
n
xi
n
yi
?
?
1
?
2n
，
假設(shè)原式不成立，即?
i?1
n
xi?
??
2n
1,
則?
i?1
?
n
yi?
?1.
?
n
從而?
i
n
xi
yi?
?1
，矛盾.得證.
2014北約文科數(shù)學(xué)試題
1、圓心角為
?
的扇形面積為6?,求它圍成圓錐的表面積.3
1
【解析】S扇??R2,?R?6,l??R?2?,從而圓錐底面周長(zhǎng)為
2
2??2?r,?S底??r2??,S?6????7?.
2、將10個(gè)人分成3組，一組4人，兩組各3人，求共有幾種分法.
C4?C63?C33
【解析】平均分堆問(wèn)題.10?2100.
2!
?a?2b?f?a??2f?b?,f?1??1,f?4??7,求f?2014?.3、f???
3?3?
【解析】觀察等式可知，函數(shù)顯然為線性一次函數(shù)，可設(shè)f?x??kx?m,f?1??1,f?4??7代
入求得k?2,m??1,從而f?2014??4027.
4、f?x??lg?x2?2ax?a?的值域?yàn)镽,求a的取值范圍.【解析】值域問(wèn)題.??4a2?4a?0,?a?1或a?0.
5、已知x?y??1,且x,y都為負(fù)實(shí)數(shù)，求xy?
1
的取值范圍.xy
1171
【解析】均值不等式，對(duì)勾函數(shù)性質(zhì).1???x???
?y???0?xy?,從而xy??.
xy44
6、f?x??arctan
2?2x?11?
?C在??,?上為奇函數(shù)，求C的值.1?4x?44?
【解析】f?0??0,?C??arctan2.下面證明：
f?x??f??x??arctan
2?2x2?2x?4?
?arctan?2C?arctan????2arctan2?0.1?4x1?4x?3?
7、等比數(shù)列?4n?1??1?n?200?,?6m?3??1?m?200?的公共項(xiàng)之和.【解析】此題考察數(shù)的同余問(wèn)題；設(shè)公共項(xiàng)為a，a?1mod(4),a?3mod(6).
易得a最小的數(shù)為9.4和6的最小公倍數(shù)為12,則a?9?12k,k?N.
9?12k?4?200?1,?k?66.?公共項(xiàng)之和為S?
8、梯形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為5和7，高是3,求梯形的面積.【解析】如圖，梯形面積為S?
S?
67?9?801?
2
?27135.
11
?AB?CD?h??DF?
EC?h，易求得DF?EC?4,22
11
?
DF?EC?h?4?3?6?22
?
A
B
D
E
F
9、求證：tan3??Q.
【解析】反證法.假設(shè)tan3??Q,則tan6??Q,?tan12??Q,?tan24??Q,從而tan30??Q,矛
盾.?tan3??Q.
10、已知實(shí)系數(shù)二次函數(shù)f?x?與g?x?,f?x??g?x?和3f?x??g?x??0有兩重根，f?x?有兩相異實(shí)根，求證：g?x?沒有實(shí)根.
【解析】設(shè)f?x??ax2?bx?c,g?x??dx2?ex?f,
則由f?x??g?x?，可得
?a?d?x2??b?e?x??c?f??0,???b?e?
由3f?x??g?x??0可得
2
?4?a?d??c?f??0.
?3a?d?x2??3b?e?x??3c?f??0,???3b?e?
2
?4?3a?d??3c?f??0.
化簡(jiǎn)得3b2?e2?12ac?4df,即e2?4df?3?4ac?b2?又b2?4ac?0.
?e2?4df?0.?g?x?沒有實(shí)根.
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