2016年高中部自主招生考試試題
數(shù)學(xué)（試題卷）
一．選擇題（共6小題，每小題6分，共36分）
1．一列數(shù)a1，a2，a3，…，其中a1=，an=
（n為不小于2的整數(shù)），則a100=
2．已知
，則的值為
3．已知AD∥BC，AB⊥AD，點(diǎn)E，點(diǎn)F分別在射線AD，射線BC上．若點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于AC對(duì)稱，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于BD對(duì)稱，AC與BD相交于點(diǎn)G，則
4．如圖，若將左圖正方形剪成四塊，恰能拼成右圖的矩形，設(shè)a=1，則b=
5．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，﹣2），⊙A的半徑為1，P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，PQ切⊙A于點(diǎn)Q，則當(dāng)PQ最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為
6．已知拋物線y=﹣x+1的頂點(diǎn)為P，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，分別過點(diǎn)B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連結(jié)PA、PD，PD交AB于點(diǎn)E，△PAD與
二．填空題（共4小題，每小題6分，共24分）
27．如果函數(shù)y=b的圖象與函數(shù)y=x﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)，則b的可能值是．
8．如圖，已知直線交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，⊙P的圓心從原點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度向x軸正方向移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t（s），半徑為，則t=s時(shí)⊙P與直線AB相切．
9．一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合．一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．如一組數(shù)1，1，2，3，4就可以構(gòu)成一個(gè)集合，記為A={1，2，3，4}．類比實(shí)數(shù)有加法運(yùn)算，集合也可以“相加”．定義：集合A與集合B中的所有元素組成的集合稱為集合A與集合B的和，記為A+B．若A={﹣2，0，1，5，7}，B={﹣3，0，1，3，5}，則A+B=．
10．對(duì)于X，Y定義一種新運(yùn)算“*”：X*Y=aX+bY，其中a，b為常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法的運(yùn)算．若
成立，那么2*3=．
三．解答題（共5題，每題12分，共60分）
11．如圖，二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度向y軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)PQ交直線AC于點(diǎn)G．
（
1）求直線AC的解析式；
（2）設(shè)△PQC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）在y軸上找一點(diǎn)M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接寫出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）過點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段EG的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變，請(qǐng)說明理由．
試題圖
備用圖
12．已知直線y=﹣x+4與x軸和y軸分別交與B、A兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)D（11，6）．
（1）求AB、BD的長(zhǎng)度，并證明△ABD是直角三角形；
（2）在x軸上找點(diǎn)C，使△ACD是以AD為底邊的等腰三角形，求出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）一動(dòng)點(diǎn)P速度為1個(gè)單位/秒，沿A﹣B﹣D運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)停止，另有一動(dòng)點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度沿D﹣B﹣A運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)停止，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，PQ的長(zhǎng)度為y（單位長(zhǎng)），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．
13．在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，E是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至B，C），過點(diǎn)E作弧BD的切線EF，交CD于F，H是切點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG⊥EF，交AB于點(diǎn)G，連接AE．
（1）求證：△AGE是等腰三角形；
（2）設(shè)BE=x，△BGE與△CEF的面積比，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在BC邊上（點(diǎn)B、C除外）是否存在一點(diǎn)E，使得GE=EF，若存在，求出此時(shí)BE的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
14．如圖，AE切⊙O于點(diǎn)E，AT交⊙O于點(diǎn)M，N，線段OE交AT于點(diǎn)C，OB⊥AT于點(diǎn)B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．
（1）求∠COB的度數(shù)；
（2）求⊙O的半徑R；
（3）點(diǎn)F在⊙O上（是劣�。褽F=5，把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E，F(xiàn)重合．在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個(gè)？你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上的三角形嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出這個(gè)三角形，并求出這個(gè)三角形與△OBC的周長(zhǎng)之比．
15．如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標(biāo)軸的正半軸上，BC∥x軸，OA=OC=4，以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線過A，B，C三點(diǎn)．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）已知直線l的解析式為y=x+m，它與x軸交于點(diǎn)G，在梯形ABCO的一邊上取點(diǎn)P．
①當(dāng)m=0時(shí)，如圖1，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸與BC的交點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥直線l于點(diǎn)H，連結(jié)OP，試求△OPH的面積；
②當(dāng)m=﹣3時(shí)，過點(diǎn)P分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn)．是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2016年高中部自主招生考試數(shù)學(xué)參考答案
選擇題
1-6.ABABDB
填空題
7.
8.
解答題
11.（1）y=﹣x+2，
x=0時(shí)，y=2，
y=0時(shí)，x=±2，
∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），
設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，代入得：，2
解得：k=1，b=2，
即直線AC的解析式是y=x+2；
（2）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，
OP=（2﹣t），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=（2﹣t）t=﹣t+t，
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，
OP=（t﹣2），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=（t﹣2）t=t﹣t，22
∴；
（3）當(dāng)AC=CM=BC時(shí)，M的坐標(biāo)是：（0，），（0，﹣2）；當(dāng)AM=BM=CM時(shí)，M的坐標(biāo)是：（0，0），（0，）；
一共四個(gè)點(diǎn)，（0，），（0，0），（0，），（0，﹣2）；
（4）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，過G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE=
∵GH∥OP∴即=，解得GH=，．
所以GC=GH=．
=．于是，GE=AC﹣AE﹣GC=即GE的長(zhǎng)度不變．
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，過G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE=
由即=．，
∴GH（2+t）=t（t﹣2）﹣（t﹣2）GH，
∴GH（2+t）+（t﹣2）GH=t（t﹣2），
∴2tGH=t（t﹣2），
解得GH=
所以GC=，GH=．
﹣t+=，于是，GE=AC﹣AE+GC=2即GE的長(zhǎng)度不變．
綜合得：當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段EG的長(zhǎng)度不發(fā)生改變，為定值
12.（1）令x=0，y=4，
令y=0，則﹣x+4=0，
解得x=3，
所以，A（0，4），B（3，0），
由勾股定理得，AB=
BD==10，=5，．
過點(diǎn)D作DH⊥y軸于H，DH=11，AH=2，
由勾股定理得，AD=
∵AB=25，BD=100，
222∴AB+BD=AD，
∴△ABD是直角三角形；
（2）設(shè)OC長(zhǎng)為x，由等腰三角形以及勾股定理得到x+4=（11﹣x）+6，解得x=
所以，C（，，0）；222222==，
（3）設(shè)t秒時(shí)相遇，由題意得，t+t=5+10，
解得t=7.5，
點(diǎn)P在AB上時(shí)，0≤t≤5，PB=5﹣t，BQ=10﹣t，PQ=
==，點(diǎn)P、Q都在BD上重合前，5＜t≤7.5，PQ=5+10﹣t﹣t=15﹣2t，
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