2015年溫州中學(xué)自主招生選拔考試數(shù)學(xué)試題

（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的的四個選項(xiàng)中，只??????密??????????????????封??????????????????線??????有一項(xiàng)是符合題目要求的．請將你認(rèn)為正確的答案填在答題卷的相應(yīng)位置．?x2?bx?c(x?0)1、設(shè)函數(shù)y??，當(dāng)x=-4和0時，函數(shù)值相等，且當(dāng)x=-2時，y=-2，?2(x?0)則方程y?x的解的個數(shù)有（▲）個A、1B、2C、3D、42、有一個長方體的箱子，它的十二條棱長之和是140，并且從箱子的一角到最遠(yuǎn)的一角的距離是21，那么這個箱子的表面積是（▲）A、776B、784C、798D、8003、若a、b和c是三個兩兩不同的奇質(zhì)數(shù)，且方程(b?c)x2?5(a?1)x?225?0有兩個相等的實(shí)根，則a的最小值是（▲）A、41B、47C、53D、59班級____________________姓名____________________4、某中學(xué)從初一到高三年級學(xué)生中挑選學(xué)生會成員,至少要滿足以下一個條件:①初一年級至多選1人；②初二年級至多選2人；③初三年級至多選3人；④高一年級至多選4人；⑤高二年級至多選5人；⑥高三年級至多選6人.則至多要選出(▲)名同學(xué)才能做到.A、21B、22C、26D、285、如圖，?ABC中，AB?AC,?ABC?40?，BD是?ABC的平分線，延長BD至E，使DE=AD，則?ECA?（▲）A、50B、35C、40D、45第5題圖第6題圖第7題圖6、如圖所示，△ABC的邊長為6、8、10，一個以點(diǎn)P為圓心且半徑為1的圓在其內(nèi)滾動，

且總是與△ABC的邊相切。當(dāng)P第一次回到它原來的位置時，點(diǎn)P走過的長度是（▲）

A、10B、12C、14D、150000

1

7、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，內(nèi)切圓⊙I切AC,BC于E,F，射線BI、AI交直線EF于點(diǎn)M、N，設(shè)S△AIB=S1，S△MIN=S2，則0S1的值為（▲）S2

A、

35B、2C、D、322

8、將20個乒乓球（不加區(qū)分）裝入5個不同的盒子里，要求不同的盒子中的球數(shù)互不相同，且盒子都不空，一共有（▲）種不同裝法。

4A、7B、14C、C19D、7×5！

9、如圖在等邊△ABC中，D、E、F是三邊中點(diǎn)．在圖中可以數(shù)出的三角形中，任選一對三角形(不計(jì)順序)，如果這2個三角形至少有一條邊相等，便稱之為一對“友好三角形”．那么，從圖中選出“友好三角形”共有(▲)

A、120對B、240對

C、234對D、114對

22a12?a2???ak10、對k個正實(shí)數(shù)a1，a2，?，ak，稱為這k個數(shù)的平方平均數(shù)．用k

An表示1，2，?，2014中能被n整除的所有數(shù)的平方平均數(shù)．則A2、A3、A5A7按大小順序?yàn)椋ā��?/p>

A、A2>A3>A7>A5B、A2<A3<A7<A5C、A3<A2<A5<A7D、A5<A3<A2<A7、

11、已知實(shí)數(shù)m、n滿足m?n?，m?3n為質(zhì)數(shù)．若m?3n的最大值為s、最小值為t．則s?t的值為（▲）

A、12B、14C、11D、13

12、我們將1×2×3×?n記作n！(讀作n的階乘)，如：2！=1×2,3！=1×2×3,4！=1×2×3×4，若設(shè)S=1×1!+2×2!+3×3!+??+2013×2013！，則S除以2014的余數(shù)是（▲）2222

2

A、0B、1C、1007D、2013

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．請將答案填在答題卷的相應(yīng)位置．

13、如圖，在△ABC中，∠B為直角，AD平分∠BAC，邊BC上的中線為E，且點(diǎn)D、E恰好順次分BC成三段的比為1∶2∶3，則sin∠BAC=▲；

14

、2的值為▲．…21?2?1

15、在平面直角坐標(biāo)系中不等式x?y≤3圍成的面積是▲；

16、如圖，射線AO交⊙O于B、C兩點(diǎn)，AB=1cm,BC=3cm，AD切⊙O于點(diǎn)D，延長DO交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)AE交⊙O于點(diǎn)F，則線段DF的長=▲cm．

120、（本題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的解析式是y=x2+1，4

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(–4，0)，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A，B在拋物線上，AB與y軸交于點(diǎn)M，已知點(diǎn)Q(x，y)在拋物線上，點(diǎn)P(t，0)在x軸上.

(1)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時.

①求t關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；

②當(dāng)梯形CMQP的兩底的長度之比為1：2時，求t的

值.

21、（本題滿分16分）如圖，兩圓T1、T2相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的一條直線

分別交圓T1、T2于點(diǎn)C、D，過點(diǎn)B的另一條直線分別交圓T1、T2于點(diǎn)E、F，直

線CF分別交圓T1、T2于點(diǎn)P、Q，設(shè)M、N分別是弧PB，弧QB的中點(diǎn)，求證：若

CD=EF，則C，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共圓。

22、（本題滿分16分）已知a、b、c為兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，且a2(b3?c3)，b2(c3?a3)，c2(a3?b3)，求a、b、c的值。

4

2015年溫州中學(xué)自主招生選拔考試數(shù)學(xué)答題卷

（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．

??????密??????????????????封??????????????????線??????

13．；14．；15．

16．；17．；18．三、解答題：本大題共4小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．19、（本題滿分12分）設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊長為c。若a、b、

班級____________________姓名____________________

1

c均為整數(shù)，且c?ab?(a?b)，求滿足條件的直角三角形的周長。

3

5

20、（本題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的解析式是y=

12

x+1，4

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(–4，0)，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A，B在拋物線上，AB與y軸交于點(diǎn)M，已知點(diǎn)Q(x，y)在拋物線上，點(diǎn)P(t，0)在x軸上.(1)寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)四邊形CMQP是以MQ，PC為腰的梯形時.①求t關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍；②當(dāng)梯形CMQP的兩底的長度之比為1：2時，求t的值.

21、（本題滿分16分）如圖，兩圓T1、T2相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的一條直線分別交圓T1、T2于點(diǎn)C、D，過點(diǎn)B的另一條直線分別交圓T1、T2于點(diǎn)E、F，直線CF分別交圓T1、T2于點(diǎn)P、Q，設(shè)M、N分別是弧PB，弧QB的中點(diǎn)，求證：若CD=EF，則C，F(xiàn)，M，N四點(diǎn)共圓。

233233

22、（本題滿分16分）已知a、b、c為兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，且a(b?c)，b(c?a)，

c2(a3?b3)，求a、b、c的值。

2015年溫州中學(xué)自主招生選拔考試數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．

?密??????????????????封??????????????????線??????

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．13．

2；14．；15．5班級____________________姓名____________________

6；17．018．3＜a＜4或4＜a≤5或a=6；13

三、解答題：本大題共4小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．19、（本題滿分12分）

16．

c?解：∵c?a?b，

222

11222222

ab?(a?b)，∴a?b?(ab)?ab(a?b)?a?2ab?b，393

∴ab?6(a?b)?18?0，(a?6)(b?6)?18，

∵a、b均為正整數(shù)，不妨設(shè)a?b，則?

?a?6?1?a?6?2?a?6?3

，?，?，

?b?6?18?b?6?9?b?6?6

∴（a、b、c）=（7，24，25），（8，15，17），（9，12，15）�！酀M足條件的直角三角形有三個，周長分別為：56或40或36。20、（本題滿分16分）

解：(1)∵OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，且AB=OC=4，

∵A，B在拋物線上，y軸是拋物線的對稱軸，∴A，B的橫坐標(biāo)分別是2和–2，代入y=

12

x+1得，A(2,2)，B(–2，2)，∴M(0，2)，4

yx?t?,即：t=x–2y,24

(2)①過點(diǎn)Q作QH?x軸，設(shè)垂足為H，則HQ=y，HP=x–t，由△HQP∽△OMC，得：

∵Q(x,y)在y=

121

x+1上，∴t=–x2+x–2.42

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時，梯形不存在，此時，t=–4，解得x=1?5,當(dāng)Q與B或A重合時，四邊形為平行四邊形，此時，x=?2

∴x的取值范圍是x?1?5,且x??2的所有實(shí)數(shù).

②分兩種情況討論：1）當(dāng)CM>PQ時，則點(diǎn)P在線段OC上，∵CM∥PQ，CM=2PQ，∴點(diǎn)M縱坐標(biāo)為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的2倍，即2=2(解得x=0，∴t=–

12

x+1)，4

12

0+0–2=–2.2

1

2）當(dāng)CM<PQ時，則點(diǎn)P在OC的延長線上，∵CM∥PQ，CM=PQ，

2

12

∴點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為點(diǎn)M縱坐標(biāo)的2倍，即x+1=2?2，解得：x=?2.

4

12

當(dāng)x=–2時，得t=–(2)–2–2=–8–2,當(dāng)x=23時，得t=2–8.

2

21、（本題滿分16分）

22、（本題滿分16分）

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