蕪湖一中2015年高一自主招生考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共7個小題，每小題6分，共42分，每小題只有一個選項正確，把正確的選項序號填在答題欄中）

1．已知非零實數(shù)a,b滿足

5?3a?b?3A．?1

2．已知B．05?3a,則a?b?C．1D．?511?x?1，則?x的值為．xx

B．5C．?D．或1A．?

3．若關(guān)于x的方程1?2a?2的解為正數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是2x?1

33331A．a(chǎn)?B．a(chǎn)?C．a(chǎn)?且a?2D．a(chǎn)?且a?22222

4．如果一直線l經(jīng)過不同三點A?a,b?,B?b,a?,C?a?b,b?a?，那么直線l經(jīng)過

A．第二、四象限B．第一、二象限

C．第二、三、四象限D(zhuǎn)．第一、三、四象限

5．已知平面四邊形ABCD，下列條件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB=CD；④BC=AD⑤∠A=∠C；⑥∠B=∠D.任取其中兩個，可以得出“平面四邊形ABCD是平行四邊形”的概率是

A．23B．815C．35D．715

6．一個正方體內(nèi)接于一個球(正方體的頂點均在球面上)，過球心作一個截面，如下圖所示，則截面的可能圖形是

（1）（2）（3）（4）

A．（3）（4）

B．（1）（2）（4

）C．

（2）（

4）

D．（1）（2）（3）

7．直角?ABC的三個頂點A,B,C均在拋物線y?x上，并且斜邊AB平行于x軸，若斜邊上h21

二、填空題（本大題共7個小題，每小題7分，共49分）

8

．二次根式2m2

?0有兩個實根x1、x2滿足x2?x1?2，則m的9．已知關(guān)于x的方程：x?(m?2)x?4

值為

10．若關(guān)于x的不等式組??5x?a?0的整數(shù)解僅有1、2、3，則滿足這個不等式組的有序整數(shù)對

?3x?b?0

?a,b?的個數(shù)為

11．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，A?x1,y1?是反比例函數(shù)y?

點，B?x2,y2?是反比例函數(shù)y??1?x?0?的圖像上的一x4?x?0?的圖像上的一點，則?AOB的面積的最小值為x

12．有一個半徑為1cm的圓，在邊長為6cm的正六邊形內(nèi)任意挪動（圓可以與正六邊形的邊相切）。則圓在正六邊形內(nèi)能到達的部分的面積為cm

13．如右圖所示，?ABC的面積為3，D,E,F,G分別

是BC,AC邊上的三等分點，AE,BF相交于點H，

則四邊形CEHF的面積是

14

．已知2

????,?2015，則n?1?．m2

蕪湖一中2015年高一自主招生考試

數(shù)學(xué)答題卷

一、選擇題（本大題共7個小題，每小題6分，共42分，每小題只有一個選項正確，把正確的

選項序號填在答題欄中）

2

二、填空題（本大題共7個小題，每小題7分，共49分）

8．9．10．11．12．13．14．

三、解答題（本大題共5

個小題，計59分，寫出必要的推算或演算步驟）

15．（本小題10分）已知a,b是一元二次方程

t?t?1?0的兩個實根，解關(guān)于x,y的方程組2

?xy??x?1??ab?xy???y?1??ba

16．（本小題10分）為解決停車難的問題，在如圖一段長56米的路段開辟停車位，每個車位是長5米寬2.2米的矩形，矩形的邊與路的邊緣成45°角，那么這個路段最多可以劃出多少個?1.4）

3

4

17．（本小題13分）如圖，直線y??x?3與x軸，y軸分別相交于點B、C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y?ax2?bx?c與x軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸是直線x?2．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）連結(jié)AC．請問在x軸上是否存在點Q，使得以點P，B，Q為頂點的三角形與?ABC相似，

若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

18．（本小題13分）在?ABC中

，AB?AC?，?B?72，證明：BC的邊長為正整數(shù)。

2

19．（本小題13分）若p是大于5的質(zhì)數(shù)，求p?5p?5除以120得到的余數(shù)

o

??

2

蕪湖一中2015年高一自主招生考試

數(shù)學(xué)答案

一、選擇題（本大題共7個小題，每小題6分，共42分，每小題只有一個選項正確，把正確的選項序號填在答題欄中）

二、填空題（本大題共7個小題，每小題7分，共49分）

8、、0或410、1511、212、?13、

1

14、20152

三、解答題（本大題共5個小題，計59分，寫出必要的推算或演算步驟）15、（本小題10分）解：因為a?b?1,ab??1，將方程組通分后代入ab??1得?

??bx?ay???x?1??1?

ax?by??y?12??????

兩式相加得?a?b?x??a?b?y??2??x?y?，又因為a?b?1,于是x?y??1，代入(1)式，得?b?a?1?x??1?a，可得2bx??b，所以x??11,y??

22

17、（本小題13分）解：（1）?直線y??x?3與x軸相交于點B，?當(dāng)y?0時，x?3，?點B的坐標(biāo)為?3,0?．

?點A的坐標(biāo)為?1,0?．又?拋物線過x軸上的A,B兩點，且對稱軸為x?2，根據(jù)拋物線的對稱性，

?y??x?3過點C，易知C?0,3?，?c?3．又?拋物線y?ax2?bx?c過點A?1,0?,B?3,0?，?a?b?3?0

??

?9a?3b?3?0

解

，

得

?a?1

?b??4?

?y?x2?4x?3．??????????????????5分

（2）連結(jié)PB，由?y?x2?4x?3??x?2??1，得P?2,?1?，

2

設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點M，在Rt?PBM中，PM?MB?1，??PBM?45?,PB?2．由點B?3,0?,C?0,3?易得OB?OC?3，在等腰直角三角形OBC中，?ABC?45?，由勾股定理，得BC?32．??????????????????7分假設(shè)在x軸上存在點Q，使得以點P,B,Q為頂點的三角形與?ABC相似．①當(dāng)

BQPBBQ2

?，?PBQ??ABC?45?時，?PBQ∽?ABC．即，?BQ?3，?BCAB232

?Q1的坐標(biāo)是?0,0?．??????????????????9分

②當(dāng)

QBPB2QB2

?，?QBP??ABC?45?時，?QBP∽?ABC．即，?QB?．?ABBC3232

27

?7?33，?Q的坐標(biāo)是?,0?．?2

?3?

?OB?3，?OQ?OB?QB?3?

?∠PBx?180??45??135?，∠BAC?135?，?∠PBx?∠BAC．

?點Q不可能在B點右側(cè)的x軸上（無此判斷，亦不扣分）．

綜上所述，在x軸上存在兩點Q1?0,0?,Q2?,0?，能使得以點P,B,Q為頂點的三角形與?ABC相似．????????????????????????13分18、（本小題13分）

?7?

?3?

19、（本小題13分）

2222???1??p2?5p?4??p2?5p?6??1p?5p?5?p?5p?5?1????????解：

??p?1??p?2??p?3??p?4??1

設(shè)?p?1??p?2??p?3??p?4??M，因為p是大于5的質(zhì)數(shù)，M是4個連續(xù)整數(shù)的積，所以M必能被24整除。又p除以5所得的余數(shù)只能是1,2,3,4中的一個，但此時相應(yīng)的

p?1,p?2,p?3,p?4必有一數(shù)是5的倍數(shù)，故M能被5整除。因為120?2?3?4?5，所以M能被120整除，綜上余數(shù)是1

18．（本小題13分）在?ABC中

，AB?AC?，?B?72，證明：BC的邊長為正整數(shù)。

2

19．（本小題13分）若p是大于5的質(zhì)數(shù)，求p?5p?5除以120得到的余數(shù)

o

??

2

蕪湖一中2015年高一自主招生考試

數(shù)學(xué)答案

一、選擇題（本大題共7個小題，每小題6分，共42分，每小題只有一個選項正確，把正確的選項序號填在答題欄中）

二、填空題（本大題共7個小題，每小題7分，共49分）

8、、0或410、1511、212、?13、

1

14、20152

三、解答題（本大題共5個小題，計59分，寫出必要的推算或演算步驟）15、（本小題10分）解：因為a?b?1,ab??1，將方程組通分后代入ab??1得?

??bx?ay???x?1??1?

ax?by??y?12??????

兩式相加得?a?b?x??a?b?y??2??x?y?，又因為a?b?1,于是x?y??1，代入(1)式，得?b?a?1?x??1?a，可得2bx??b，所以x??11,y??

22

17、（本小題13分）解：（1）?直線y??x?3與x軸相交于點B，?當(dāng)y?0時，x?3，?點B的坐標(biāo)為?3,0?．

?點A的坐標(biāo)為?1,0?．又?拋物線過x軸上的A,B兩點，且對稱軸為x?2，根據(jù)拋物線的對稱性，

?y??x?3過點C，易知C?0,3?，?c?3．又?拋物線y?ax2?bx?c過點A?1,0?,B?3,0?，?a?b?3?0

??

?9a?3b?3?0

解

，

得

?a?1

?b??4?

?y?x2?4x?3．??????????????????5分

（2）連結(jié)PB，由?y?x2?4x?3??x?2??1，得P?2,?1?，

2

設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點M，在Rt?PBM中，PM?MB?1，??PBM?45?,PB?2．由點B?3,0?,C?0,3?易得OB?OC?3，在等腰直角三角形OBC中，?ABC?45?，由勾股定理，得BC?32．??????????????????7分假設(shè)在x軸上存在點Q，使得以點P,B,Q為頂點的三角形與?ABC相似．①當(dāng)

BQPBBQ2

?，?PBQ??ABC?45?時，?PBQ∽?ABC．即，?BQ?3，?BCAB232

?Q1的坐標(biāo)是?0,0?．??????????????????9分

②當(dāng)

QBPB2QB2

?，?QBP??ABC?45?時，?QBP∽?ABC．即，?QB?．?ABBC3232

27

?7?33，?Q的坐標(biāo)是?,0?．?2

?3?

?OB?3，?OQ?OB?QB?3?

?∠PBx?180??45??135?，∠BAC?135?，?∠PBx?∠BAC．

?點Q不可能在B點右側(cè)的x軸上（無此判斷，亦不扣分）．

綜上所述，在x軸上存在兩點Q1?0,0?,Q2?,0?，能使得以點P,B,Q為頂點的三角形與?ABC相似．????????????????????????13分18、（本小題13分）

?7?

?3?

19、（本小題13分）

2222???1??p2?5p?4??p2?5p?6??1p?5p?5?p?5p?5?1????????解：

??p?1??p?2??p?3??p?4??1

設(shè)?p?1??p?2??p?3??p?4??M，因為p是大于5的質(zhì)數(shù)，M是4個連續(xù)整數(shù)的積，所以M必能被24整除。又p除以5所得的余數(shù)只能是1,2,3,4中的一個，但此時相應(yīng)的

p?1,p?2,p?3,p?4必有一數(shù)是5的倍數(shù)，故M能被5整除。因為120?2?3?4?5，所以M能被120整除，綜上余數(shù)是1

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