2011年北京市四中自主招生考試數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共6小題，每小題5分，滿分30分）

1．（5分）已知＜cosA＜sin80°，則銳角A的取值范圍是

2222

4．（5分）代數(shù)式的最小值為

5．（5分）擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個(gè)面上分別刻有1至6六個(gè)數(shù)．連續(xù)擲兩次，

2

二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）

327．（5分）多項(xiàng)式6x﹣11x+x+4可分解為．

8．（5分）已知點(diǎn)P（x，y）位于第二象限，并且y≤2x+6，x、y為整數(shù)，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是．

9．（5分）（2002?黃石）已知⊙O的半徑OA=1，弦AB、AC的長(zhǎng)分別是

數(shù)是15°或75°．

、，則∠BAC的度

3

10．（5分）方程（2007x）﹣2006×2008x﹣1=0的較大根為a，方程x+2006x﹣2007=0的較小根為b，則a﹣b=．

22

11．（5分）已知x=

，則x+12x的算術(shù)平方根是3．

4

12．（5分）（2008?昆明）如圖，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6．△ABC以點(diǎn)B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至AB邊延長(zhǎng)線上的C′處，那么AC邊轉(zhuǎn)過(guò)的圖形（圖中陰影部分）的面積是9π．

5

三、解答題（共5小題，滿分60分）13．（12分）現(xiàn)將一個(gè)表面涂滿紅色的正方體的每條棱十等分，此正方體分割成若干個(gè)小正方體．在這些小正方體中，求：

（1）兩面涂有紅色的小正方體的個(gè)數(shù)；

（2）任取一個(gè)小正方體，各面均無(wú)色的小正方體的概率；

（3）若將原正方體每條棱n等分，只有一面涂有紅色的小正方體的個(gè)數(shù)．

14．（12分）已知x、y均為實(shí)數(shù)，且滿足xy+x+y=17，xy+xy=66，求：代數(shù)式x+xy+xy+xy+y的值．

22432234

6

15．（12分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角邊BC與直角坐標(biāo)系中的x軸重合，其內(nèi)切圓的圓心

2

坐標(biāo)為P（0，1），若拋物線y=kx+2kx+1的頂點(diǎn)為A．求：（1）求拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和開(kāi)口方向；（2）用k表示B點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)k取何值時(shí)，∠ABC=60°？

7

16．（12分）如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q，點(diǎn)R在OA的延長(zhǎng)線上，且RP=RQ．（1）求證：RQ是⊙O的切線；

22

（2）求證：OB=PB?PQ+OP；

（3）當(dāng)RA≤OA時(shí)，試確定∠B的取值范圍．

8

17．（12分）平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥3，n為自然數(shù)），其中任何三點(diǎn)不在同一直線上．證明：一定存在三點(diǎn)，以這三點(diǎn)作為頂點(diǎn)的三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不大于

．

9

三、解答題（共5小題，滿分60分）

13．（12分）現(xiàn)將一個(gè)表面涂滿紅色的正方體的每條棱十等分，此正方體分割成若干個(gè)小正方體．在這些小正方體中，求：

（1）兩面涂有紅色的小正方體的個(gè)數(shù)；

（2）任取一個(gè)小正方體，各面均無(wú)色的小正方體的概率；

（3）若將原正方體每條棱n等分，只有一面涂有紅色的小正方體的個(gè)數(shù)．

14．（12分）已知x、y均為實(shí)數(shù)，且滿足xy+x+y=17，xy+xy=66，求：代數(shù)式x+xy+xy+xy+y的值．

22432234

6

15．（12分）在直角△ABC中，∠C=90°，直角邊BC與直角坐標(biāo)系中的x軸重合，其內(nèi)切圓的圓心

2坐標(biāo)為P（0，1），若拋物線y=kx+2kx+1的頂點(diǎn)為A．求：

（1）求拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和開(kāi)口方向；

（2）用k表示B點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)k取何值時(shí)，∠ABC=60°？

7

16．（12分）如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB．P是OA上的任意一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q，點(diǎn)R在OA的延長(zhǎng)線上，且RP=RQ．

（1）求證：RQ是⊙O的切線；

22（2）求證：OB=PB?PQ+OP；

（3）當(dāng)RA≤OA時(shí)，試確定∠B的取值范圍．

8

17．（12分）平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥3，n為自然數(shù)），其中任何三點(diǎn)不在同一直線上．證明：一定存在三點(diǎn)，以這三點(diǎn)作為頂點(diǎn)的三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不大于．

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