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2014年重點高中自主招生考試數(shù)學模擬試卷(一)

班級：姓名：學號：成績：

一、填空題（本大題共有8小題，每題4分，共32分）1．在△ABC中，∠C＝90°，cosB3

，a＝3，則b＝_______．2

20

2．同時拋擲兩枚正方體骰子，所得點數(shù)之和為7的概率是_________．a＋b

3．設a＞b＞0，a2＋b2＝4ab的值等于________．

a－b

BE

D

C

4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20?，且AE＝AD，則∠CDE＝________．5．已知實數(shù)x、y滿足x2－2x＋4y＝5，則x＋2y的最大值為________．

6．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝3，BC＝5，AB＝1，把線段CD繞點D逆時針旋轉90°到DE位置，連結AE，則AE的長為_________．7．將正偶數(shù)按下表排列：

根據上面的規(guī)律，則2006所在行、列分別是_____________．8．如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡單幾何體的主視圖和俯視圖，若組成這個幾何體的小正方體的塊數(shù)為n，則n的所有可能的值之和為_____________．

主視圖

俯視圖

E

AC

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（C）第一象限（D）第二象限

10．將直徑為64cm的圓形鐵皮，做成四個相同圓錐容器的側面（不浪費材料，不計接縫處的材料損耗），

那么每個圓錐容器的高為

（A）15cm（B）17cm（C）163cm（D）16cm

11．甲、乙、丙、丁四名運動員參加4×100米接力賽，甲必須為第一接力棒或第四接力棒的運動員，那

么這四名運動員在比賽過程中的接棒順序有

（A）3種（B）4種（C）6種（D）12種

12．如圖，把一個邊長為1的正方形經過三次對折后沿中位線（虛線）剪下，則右圖展開得到的圖形的

面積為

（A）3

4沿虛線剪開（B）1

2（C）3

8（D）316

13．如圖，圓柱形開口杯底部固定在長方體水池底，向水池勻速注入水（倒

在杯外），水池中水面高度是h，注水時間為t，則h與t之間的關系大

致為下圖中的

ABCD

15＞x－3?x＋

214．關于x的不等式組?只有4個整數(shù)解，則a的取值范圍是2x＋2?3x＋a

14（A）－5≤a≤－3141414（B）－5≤a＜－（C）－5＜a≤－（D）－5＜a＜－333

1015．已知如圖，則不含陰影部分的矩形的個數(shù)是（A）15

（C）25（B）24（D）2681316．在3×3

方格上做填字游戲，要求每行每列及對角線上三個方格中的數(shù)

-2-

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字和都等于S，又填在圖中三格中的數(shù)字如圖，若要能填成，則（A）S＝24（B）S＝30（C）S＝31（D）S＝39

三、解答題（本大題共6小題，滿分66分）．

17．（本題10分）在“3.15”消費者權益日的活動中，對甲、乙兩家商場售后服務的滿意度進行了抽查．如

圖反映了被抽查用戶對兩家商場售后服務的滿意程度（以下稱：用戶滿意度），分為很不滿意、不滿意、較滿意、很滿意四個等級，并依次記為1分、2分、3分、4分．

（1）請問：甲商場的用戶滿意度分數(shù)的眾數(shù)為______；乙商場的用戶滿意度分數(shù)的眾數(shù)為_____．（2）分別求出甲、乙兩商場的用戶滿意度分數(shù)的平均值（計算結果精確到0.01）．（3）請你根據所學的統(tǒng)計知識，判斷哪家商場的用戶滿意度較高，并簡要說明理由．

18．（本題10分）已知，如圖，△ABC是等邊三角形，過AC邊上的點D作DG∥BC，交AB于點G，在GD的延長線上取點E，使DE＝DC，連接AE、BD．（1）求證：△AGE≌△DAB

（2）過點E作EF∥DB，交BC于點F，連AF，求∠AFE的度數(shù)．

B

F

C

E

-3-

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19．（本題10分）某公司開發(fā)的960件新產品，需加工后才能投放市場，現(xiàn)有甲、乙兩個工廠都想加

工這批產品，已知甲工廠單獨加工完成這批產品比乙工廠單獨加工完成這批產品多用20天，而乙工廠每天比甲工廠多加工8件產品．在加工過程中，公司需每天支付50元勞務費請工程師到廠進行技術指導．

（1）甲、乙兩個工廠每天各能加工多少件新產品？

（2）該公司要選擇省時又省錢的工廠加工，乙工廠預計甲工廠將向公司報加工費用為每天800元，

請問：乙工廠向公司報加工費用每天最多為多少元時，才可滿足公司要求，有望加工這批產品．

20．（本小題滿分12分）如圖，已知直線y＝－m(x－4)（m＞0）與x軸、y軸分別交于A、B兩點，以

OA為直徑作半圓，圓心為C．過A作x軸的垂線AT，Ｍ是線段OB上一動點（與O點不重合），過M點作半圓的切線交直線AT于N，交AB于F，切點為P．連結CN、CM．

（1）證明：∠MCN＝90°；

（2）設OM＝x，AN＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)解析式；

（3）若OM＝1，當m為何值時，直線AB恰好平分梯形OMNA的面積．

-4-

21．（本題12分）已知平行四邊形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上．（1）若AB＝10，AB與CD間距離為8，AE＝EB，BF＝FC，求△DEF的面積．（2）若△ADE、△BEF、△CDF的面積分別為5、3、4，求△DEF的面積．

22．（本題12分）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點（1，2）．

（1）若a＝1，拋物線頂點為A，它與x軸交于兩點B、C，且△ABC為等邊三角形，求b的值．（2）若abc＝4，且a≥b≥c，求｜a｜＋｜b｜＋｜c｜的最小值．

D

F

B

C

參考答案

一．填空題（本大題共有8小題，每題4分，共32分）．

19

1．1234．10°5．6．27．第45行，第13列8．38

62二．選擇題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

9．D10．A11．D12．A13．B14．C15．C16．B三．解答題（本大題共6小題，滿分66分）．

17．解：（1）3；3－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（２分）（2）甲商場抽查用戶數(shù)為：500＋1000＋2000＋1000＝4500（戶）

乙商場抽查用戶數(shù)為：100＋900＋2200＋1300＝4500（戶）－－－－－（３分）所以甲商場滿意度分數(shù)的平均值＝

500×1＋1000×2＋2000×3＋1000×4

≈2.78（分）－－－－－（５分）

4500

100×1＋900×2＋2200×3＋1300×4

乙商場滿意度分數(shù)的平均值＝≈3.04（分）

4500

答：甲、乙兩商場用戶滿意度分數(shù)的平均值分別為2.78分、3.04分.－－－－－－－－－－－（7分）（3）因為乙商場用戶滿意度分數(shù)的平均值較高(或較滿意和很滿意的人數(shù)較多)，

所以乙商場的用戶滿意度較高．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（10分）

18．解：（1）∵△ABC是等邊三角形，DG∥BC，∴△AGD是等邊三角形AG＝GD＝AD，∠AGD＝60°

∵DE＝DC，∴GE＝GD＋DE＝AD＋DC＝AC＝AB∵∠AGD＝∠BAD，AG＝AD，

∴△AGE≌△DAB－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（5分）（2）由（1）知AE＝BD，∠ABD＝∠AEG－－－－－（6分）

∵EF∥DB，DG∥BC，∴四邊形BFED是平行四邊形－－－－－－－－－－－－－（7分）∴EF＝BD，∴EF＝AE．－－－－－－－－－－－－－－－－－（8分）∵∠DBC＝∠DEF，∴∠ABD＋∠DBC＝∠AEG＋∠DEF，即∠AEF＝∠ABC＝60°（9分）∴△ABC是等邊三角形，∠AFE＝60°－－－－－－－－－－－－－－－－－（10分）

19．解：（1）設甲工廠每天加工x件，則乙工廠每天加工（x＋8）件－－－－（1分）

B

F

C

E

960960

由題意得：－20＝－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（3分）

xx＋8解之得：x1＝－24，x2＝16.

經檢驗，x1、x2均為所列方程的根，但x1＝－24不合題意，舍去．此時x＋8＝24．答：甲工廠每天加工16件，乙工廠每天加工24件．－－－－－－－－－－（5分）

（2）由（1）可知加工960件產品，甲工廠要60天，乙工廠要40天．所以甲工廠的加工總費用

為60（800＋50）＝51000(元)．－－－－－－－－－－－－（6分）設乙工廠報價為每天m元，則乙工廠的加工總費用為40（m＋50）元．

由題意得：40（m＋50）≤51000，解之得m≤1225－－－－－－－－－（9分）答：乙工廠所報加工費每天最多為1225元時，可滿足公司要求，有望加工這批產品．－（10分）

20解（1）證明：∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直徑，∴AT、OM是⊙C的切線．又∵MN切⊙C于點P

11

∴∠CMN＝OMN，∠CNMANM－－－（1分）

22∵OM∥AN

∴∠ANM＋∠OMN＝180°

11

∴∠CMN＋∠CNM＝∠OMNANM

22

11

＝∠OMN＋∠ANM)＝90°，∴∠CMN＝90°－－－－－－－－－－－－（3分）22（2）由（1）可知：∠1＋∠2＝90°，而∠2＋∠3＝900，∴∠1＝∠3；

OMOC∴Rt△MOC∽Rt△CAN∴＝－－－－－－－－－－－－－（5分）

ACAN∵直線y＝－m(x–4)交x軸于點A，交y軸于點B，∴A（4，0），∴AC＝CO＝2x24

∵OM＝x，AN＝y(tǒng)，∵＝∴y＝－－－－－－－－－－－－－－－（7分）

2yx（3）∵OM＝1，∴AN＝y(tǒng)＝4，此時S四邊形ANMO＝10

∵直線AB平分梯形ANMO的面積，∴△ANF的面積為5－－－－－－－－－－－－－－（8分）15

過點F作FG⊥AN于G，則FG·AN＝5，∴FG＝22

53

∴點F的橫坐標為4－＝－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（9分）

223

∵M（0，1），N（4，4）∴直線MN的解析式為y＝x＋1－－10分）

4

∵F點在直線MN上，∴F點的縱坐標為y＝

17317

∴F（－－－－－－－－－（11分）828

17317

∵點F又在直線y＝－m(x－4)上∴＝－m(－4)∴m＝－－－－－－－－（12分）

822021．解：⑴∵AB＝10，AB與CD間距離為8，∴SABCD＝80－－－－－－－（1分）∵AE＝BE，BF＝CF．

111

∴S△AED＝SABCD，S△BEF＝SABCD，S△DCF＝SABCD

484

D

C

3

∴S△DEF＝SABCD－S△AED－S△BEF－S△DCF＝ABCD＝30－－－－－－（4分）

88

⑵設AB＝x，AB與CD間距離為y，由S△DCF＝4知F到CD的距離為－－－－－－－－－（5分）

x818

則F到AB的距離為y－，∴S△BEF＝（y－）＝3，－－－－－－－（7分）

x2xx(xy－14)6x6x

∴BE＝AE＝x－

xy－8xy－8xy－8

11x(xy－14)

S△AED＝AE×y＝×y＝5，得（xy）2－24xy＋80＝0，xy＝20或4－－－－（10分）

22xy－8∵SABCD＝xy＞S△AED＝5，∴xy＝4不合，∴xy＝20

S△DEF＝SABCD－S△AED－S△BEF－S△DCF＝20－5－3－4＝8－－－－－－－－－－（12分）

22．解：⑴由題意，a＋b＋c＝2，∵a＝1，∴b＋c＝1－－－－－－－－－－－－（1分）bb2

拋物線頂點為Ac－B（x1，0），C（x2，0），

24∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0

∴｜BC｜＝｜x1－x2|x1－x2|＝（x1＋x2）－4x1x2＝b－4c

b23∵△ABC為等邊三角形，∴－c＝b－4c－－－－－－－－－－－－－（4分）

42即b2－4c＝2b－4c，∵b2－4c＞0，∴b－4c＝23

∵c＝1－b，∴b2＋4b－16＝0，b＝－2±25，所求b值為－2±25－－－（6分）⑵∵a≥b≥c，若a＜0，則b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，與a＋b＋c＝2矛盾.∴a＞0．－－（7分）44

∵b＋c＝2－a，bc＝，∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋＝0的兩實根．

aa

4

∴△＝（2－a）2－≥0，∴a3－4a2＋4a－16≥0，即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4－－－（9分）

a∵abc＞0，∴a、b、c為全大于０或一正二負．

①若a、b、c均大于０，∵a≥4，與a＋b＋c＝2矛盾；－－－－－－（10分）

②若a、b、c為一正二負，則a＞0，b＜0，c＜0，

則｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，－－－－－－－－－－－（11分）∵a≥4，故2a－2≥6，當a＝4，b＝c＝－1時，滿足題設條件且使不等式等號成立．故｜a｜＋｜b｜＋｜c｜的最小值為6．－－－－－－－－－－（12分）

參考答案

一．填空題（本大題共有8小題，每題4分，共32分）．

19

1．1234．10°5．6．27．第45行，第13列8．38

62二．選擇題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

9．D10．A11．D12．A13．B14．C15．C16．B三．解答題（本大題共6小題，滿分66分）．

17．解：（1）3；3－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（２分）（2）甲商場抽查用戶數(shù)為：500＋1000＋2000＋1000＝4500（戶）

乙商場抽查用戶數(shù)為：100＋900＋2200＋1300＝4500（戶）－－－－－（３分）所以甲商場滿意度分數(shù)的平均值＝

500×1＋1000×2＋2000×3＋1000×4

≈2.78（分）－－－－－（５分）

4500

100×1＋900×2＋2200×3＋1300×4

乙商場滿意度分數(shù)的平均值＝≈3.04（分）

4500

答：甲、乙兩商場用戶滿意度分數(shù)的平均值分別為2.78分、3.04分.－－－－－－－－－－－（7分）（3）因為乙商場用戶滿意度分數(shù)的平均值較高(或較滿意和很滿意的人數(shù)較多)，

所以乙商場的用戶滿意度較高．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（10分）

18．解：（1）∵△ABC是等邊三角形，DG∥BC，∴△AGD是等邊三角形AG＝GD＝AD，∠AGD＝60°

∵DE＝DC，∴GE＝GD＋DE＝AD＋DC＝AC＝AB∵∠AGD＝∠BAD，AG＝AD，

∴△AGE≌△DAB－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（5分）（2）由（1）知AE＝BD，∠ABD＝∠AEG－－－－－（6分）

∵EF∥DB，DG∥BC，∴四邊形BFED是平行四邊形－－－－－－－－－－－－－（7分）∴EF＝BD，∴EF＝AE．－－－－－－－－－－－－－－－－－（8分）∵∠DBC＝∠DEF，∴∠ABD＋∠DBC＝∠AEG＋∠DEF，即∠AEF＝∠ABC＝60°（9分）∴△ABC是等邊三角形，∠AFE＝60°－－－－－－－－－－－－－－－－－（10分）

19．解：（1）設甲工廠每天加工x件，則乙工廠每天加工（x＋8）件－－－－（1分）

B

F

C

E

960960

由題意得：－20＝－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（3分）

xx＋8解之得：x1＝－24，x2＝16.

經檢驗，x1、x2均為所列方程的根，但x1＝－24不合題意，舍去．此時x＋8＝24．答：甲工廠每天加工16件，乙工廠每天加工24件．－－－－－－－－－－（5分）

（2）由（1）可知加工960件產品，甲工廠要60天，乙工廠要40天．所以甲工廠的加工總費用

為60（800＋50）＝51000(元)．－－－－－－－－－－－－（6分）設乙工廠報價為每天m元，則乙工廠的加工總費用為40（m＋50）元．

由題意得：40（m＋50）≤51000，解之得m≤1225－－－－－－－－－（9分）答：乙工廠所報加工費每天最多為1225元時，可滿足公司要求，有望加工這批產品．－（10分）

20解（1）證明：∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直徑，∴AT、OM是⊙C的切線．又∵MN切⊙C于點P

11

∴∠CMN＝OMN，∠CNMANM－－－（1分）

22∵OM∥AN

∴∠ANM＋∠OMN＝180°

11

∴∠CMN＋∠CNM＝∠OMNANM

22

11

＝∠OMN＋∠ANM)＝90°，∴∠CMN＝90°－－－－－－－－－－－－（3分）22（2）由（1）可知：∠1＋∠2＝90°，而∠2＋∠3＝900，∴∠1＝∠3；

OMOC∴Rt△MOC∽Rt△CAN∴＝－－－－－－－－－－－－－（5分）

ACAN∵直線y＝－m(x–4)交x軸于點A，交y軸于點B，∴A（4，0），∴AC＝CO＝2x24

∵OM＝x，AN＝y(tǒng)，∵＝∴y＝－－－－－－－－－－－－－－－（7分）

2yx（3）∵OM＝1，∴AN＝y(tǒng)＝4，此時S四邊形ANMO＝10

∵直線AB平分梯形ANMO的面積，∴△ANF的面積為5－－－－－－－－－－－－－－（8分）15

過點F作FG⊥AN于G，則FG·AN＝5，∴FG＝22

53

∴點F的橫坐標為4－＝－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－（9分）

223

∵M（0，1），N（4，4）∴直線MN的解析式為y＝x＋1－－10分）

4

∵F點在直線MN上，∴F點的縱坐標為y＝

17317

∴F（－－－－－－－－－（11分）828

17317

∵點F又在直線y＝－m(x－4)上∴＝－m(－4)∴m＝－－－－－－－－（12分）

822021．解：⑴∵AB＝10，AB與CD間距離為8，∴SABCD＝80－－－－－－－（1分）∵AE＝BE，BF＝CF．

111

∴S△AED＝SABCD，S△BEF＝SABCD，S△DCF＝SABCD

484

D

C

3

∴S△DEF＝SABCD－S△AED－S△BEF－S△DCF＝ABCD＝30－－－－－－（4分）

88

⑵設AB＝x，AB與CD間距離為y，由S△DCF＝4知F到CD的距離為－－－－－－－－－（5分）

x818

則F到AB的距離為y－，∴S△BEF＝（y－）＝3，－－－－－－－（7分）

x2xx(xy－14)6x6x

∴BE＝AE＝x－

xy－8xy－8xy－8

11x(xy－14)

S△AED＝AE×y＝×y＝5，得（xy）2－24xy＋80＝0，xy＝20或4－－－－（10分）

22xy－8∵SABCD＝xy＞S△AED＝5，∴xy＝4不合，∴xy＝20

S△DEF＝SABCD－S△AED－S△BEF－S△DCF＝20－5－3－4＝8－－－－－－－－－－（12分）

22．解：⑴由題意，a＋b＋c＝2，∵a＝1，∴b＋c＝1－－－－－－－－－－－－（1分）bb2

拋物線頂點為Ac－B（x1，0），C（x2，0），

24∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0

∴｜BC｜＝｜x1－x2|x1－x2|＝（x1＋x2）－4x1x2＝b－4c

b23∵△ABC為等邊三角形，∴－c＝b－4c－－－－－－－－－－－－－（4分）

42即b2－4c＝2b－4c，∵b2－4c＞0，∴b－4c＝23

∵c＝1－b，∴b2＋4b－16＝0，b＝－2±25，所求b值為－2±25－－－（6分）⑵∵a≥b≥c，若a＜0，則b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，與a＋b＋c＝2矛盾.∴a＞0．－－（7分）44

∵b＋c＝2－a，bc＝，∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋＝0的兩實根．

aa

4

∴△＝（2－a）2－≥0，∴a3－4a2＋4a－16≥0，即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4－－－（9分）

a∵abc＞0，∴a、b、c為全大于０或一正二負．

①若a、b、c均大于０，∵a≥4，與a＋b＋c＝2矛盾；－－－－－－（10分）

②若a、b、c為一正二負，則a＞0，b＜0，c＜0，

則｜a｜＋｜b｜＋｜c｜＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，－－－－－－－－－－－（11分）∵a≥4，故2a－2≥6，當a＝4，b＝c＝－1時，滿足題設條件且使不等式等號成立．故｜a｜＋｜b｜＋｜c｜的最小值為6．－－－－－－－－－－（12分）

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