近年來(lái)自主招生數(shù)學(xué)試卷解讀及應(yīng)試策略

上海華東師大二附中范端喜200241

自從2006年復(fù)旦大學(xué)、上海交通大學(xué)等全國(guó)重點(diǎn)院校高考改革試驗(yàn)“破冰”以來(lái)，各高校“深化自主選拔錄取改革試驗(yàn)”招生方案不斷出臺(tái)，全國(guó)自主招生高校不斷增多，而且各高校自主招生比例也在增大.2010年自主招生中一些名牌高校首次實(shí)行聯(lián)合統(tǒng)一考試，如清華大學(xué)等5所高校實(shí)行“五校聯(lián)考”.2011年自主招生呈三足鼎立之勢(shì)：以清華大學(xué)為首的7所高校自主招生稱為“華約”；以北京大學(xué)為首的13所高校自主招生稱為“北約”；9所工科院校組成的自主招生聯(lián)盟稱為“卓越聯(lián)盟”.這引起教育界人士和家長(zhǎng)們的高度關(guān)注，更引起了廣大中學(xué)生對(duì)自主招生考試的興趣.

2012年的自主招生考試難度不減.“華約”、“北約”的自主招生考試中，教材基本內(nèi)容大約占60%，其余內(nèi)容涉及競(jìng)賽的相關(guān)知識(shí).2012年自主招生考試熱點(diǎn)知識(shí)為：三角、方程的根的問(wèn)題、排列組合、二項(xiàng)式定理、概率、解析幾何、平面幾何、組合、導(dǎo)數(shù)、不等式等.

1.試卷特點(diǎn)分析

1.1基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能仍是考查的重點(diǎn)

沒(méi)有扎實(shí)的“雙基”，能力培養(yǎng)就成了無(wú)源之水、無(wú)本之木.基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一，是培養(yǎng)學(xué)生能力的前提.

縱觀清華大學(xué)、北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)等高校近幾年自主招生筆試題目，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，大部分的題目仍是比較基礎(chǔ)的問(wèn)題.以復(fù)旦大學(xué)為例，其筆試30道左右的選擇題中，也多半是考查學(xué)生們平時(shí)訓(xùn)練過(guò)的一些比較熟悉的題型和知識(shí)點(diǎn).

1.2考查知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面廣，但側(cè)重點(diǎn)有所不同

近幾年自主招生的試題，知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面還是很廣的，基本上涉及高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的所有內(nèi)容，如函數(shù)、集合、數(shù)列、復(fù)數(shù)、三角、排列組合、概率統(tǒng)計(jì)、向量、立體幾何、解析幾何等.

然而，高校自主招生考試命題是由大學(xué)教授完成的，試題側(cè)重考查高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接.仍以復(fù)旦大學(xué)為例，以下是幾個(gè)在近幾年該校自主招生考試中出現(xiàn)的頻率較高的知識(shí)點(diǎn)：三角、函數(shù)和方程問(wèn)題、排列組合和概率統(tǒng)計(jì)、不等式等.

1.3注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)和其他科目知識(shí)的整合，考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力

例如，2010年清華大學(xué)等“五校聯(lián)考”有這樣一個(gè)問(wèn)題：

已知基因型為AA、Aa、aa的比例為u:2v:w,且u?2v?w?1.

（1）求子一代AA、Aa、aa的比例；

（2）子二代與子一代比例是否相同？

這是一道與生物學(xué)知識(shí)有密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題，若考生缺乏有關(guān)生物學(xué)方面的知識(shí)，則肯定不能解決此問(wèn)題.這道題目在考生中引起了強(qiáng)烈的反響，它考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力.本題詳細(xì)解答見(jiàn)《名牌大學(xué)自主招生高效備考數(shù)學(xué)》的第十講，為了簡(jiǎn)便，下稱本書(shū).

2011年“華約”又考了一道數(shù)學(xué)與物理學(xué)相結(jié)合的問(wèn)題（見(jiàn)本書(shū)第十九講）：

有一個(gè)圓柱形水杯，質(zhì)量為a克（底面質(zhì)量不計(jì)），重心在中軸線中點(diǎn)，裝滿水時(shí)，水的質(zhì)量為b克.

（1）若b?3a,求水裝到一半時(shí)，重心到底面的距離與整個(gè)水杯高度之比；

（2）水的質(zhì)量是多少時(shí)，整體重心最低？

2012年復(fù)旦大學(xué)也考了一道數(shù)學(xué)與物理學(xué)相結(jié)合的問(wèn)題（見(jiàn)本書(shū)第十九講）：

某船從B點(diǎn)出發(fā)，以速度v勻速向東航行，觀察者在B點(diǎn)正南距離為s的A點(diǎn)進(jìn)行觀察，當(dāng)觀察者感覺(jué)速度是B處速度的1時(shí)，觀察者的視線跟隨行船偏轉(zhuǎn)的角度為().4

A.30?B.60?C.45?D.225?

1.4突出對(duì)思維能力和解題技巧的考查

近幾年的自主招生試卷中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和思維策略的考查達(dá)到了相當(dāng)高的層次，難度上有時(shí)與全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題相當(dāng).

例如，2007年上海交通大學(xué)冬令營(yíng)自主招生試題中有這樣一個(gè)問(wèn)題：

設(shè)f(x)?(1?a)x4?x3?(3a?2)x2?4a，試證明對(duì)任意實(shí)數(shù)a：

（1）方程f(x)?0總有相同實(shí)根；

（2）存在x0，橫有f(x0)?0.

這兩小問(wèn)解決的策略和方法是：換一個(gè)角度，將函數(shù)看成一個(gè)關(guān)于a的一次函數(shù).該題的詳解見(jiàn)本書(shū)第四講.

又如，對(duì)解決學(xué)習(xí)型問(wèn)題的能力的考查，一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中提到的對(duì)學(xué)生能力要求較高的問(wèn)題.學(xué)習(xí)型問(wèn)題要求對(duì)過(guò)去沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)的概念、公式、定理或方法，在當(dāng)前情景下通過(guò)閱讀理解，即時(shí)學(xué)習(xí)，并運(yùn)用其解決與之相關(guān)的問(wèn)題.

學(xué)習(xí)型問(wèn)題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解問(wèn)題、獨(dú)立獲取知識(shí)的能力以及創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力都是大有裨益的，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)適當(dāng)加以訓(xùn)練.

2007年清華大學(xué)自主招生考試中有這樣一個(gè)學(xué)習(xí)型問(wèn)題（見(jiàn)本書(shū)第一講）：

對(duì)于集合M?R2(R2表示二維點(diǎn)集)，稱M為開(kāi)集，當(dāng)且僅當(dāng)?P0?M,?r?0,使得

?P?R2PP0?r??M.

判斷集合?(x,y)4x?2y?5?0?與?(x,y)x?0,y?0?是否為開(kāi)集，并證明你的結(jié)論.

2010年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試32道試題中，有六七道題涉及此方面的問(wèn)題，例如：

設(shè)集合X是實(shí)數(shù)集R的子集，如果點(diǎn)x0?R滿足：對(duì)任意a?0，都存在x?X，使得0?x?x0?a，那么稱x0為集合X的聚點(diǎn).用Z表示整數(shù)集，則在下列集合?n??1?以0為聚點(diǎn)的集合有.(1)?n?Z,n?0?,(2)R\?0?,(3)?n?Z,n?0?,(4)整數(shù)集Ζ中，?n?1??n?

A.(2)(3)B.(1)(4)C.(1)(3)D.(1)(2)(4)

該題的詳細(xì)解答請(qǐng)參考本書(shū)的第一講.

“開(kāi)集”、“聚點(diǎn)”等是高等數(shù)學(xué)中非常重要的概念，同學(xué)們以后會(huì)在數(shù)學(xué)分析、拓?fù)涞日n程中學(xué)習(xí)到.

1.5考試題量大、對(duì)考生熟練程度要求極高

由于自主招生考試只是針對(duì)少數(shù)特長(zhǎng)生、優(yōu)秀精英學(xué)生的考試，無(wú)論是“北約”、“華約”，還是“卓越聯(lián)盟”、復(fù)旦大學(xué)“千分考”等，對(duì)考生的解題速度都有很高的要求.

2012年，“北約”考試題型是文理科各7道（文科1-7題，理科3-9題），全部是解答題，語(yǔ)、數(shù)、外三科合在一起，考試時(shí)間共計(jì)3小時(shí)；“卓越聯(lián)盟”試卷有6道解答題、6道填空題，考試時(shí)間是90分鐘；“華約”試卷有10道選擇題、5道解答題，考試時(shí)間是90分鐘；復(fù)旦大學(xué)“千分考”十門(mén)共計(jì)200道選擇題，其中數(shù)學(xué)題32道，考試時(shí)間為3小時(shí)，平均每道題54秒.

2.應(yīng)試和準(zhǔn)備策略

針對(duì)自主招生試題的上述特點(diǎn)，大家在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

2.1注意知識(shí)點(diǎn)的全面

數(shù)學(xué)題目被猜中的可能性很小，知識(shí)一般都是靠平時(shí)積累，剩下的就是個(gè)人的臨場(chǎng)發(fā)揮.數(shù)學(xué)需要靠平時(shí)扎扎實(shí)實(shí)的學(xué)習(xí)才能考出好成績(jī).

另外，對(duì)有些平時(shí)不太注意或高考不一定考的知識(shí)點(diǎn)，如矩陣、行列式等也不能忽視.

2.2適當(dāng)做一些近幾年的自主招生考試的真題

俗話說(shuō)，知己知彼，百戰(zhàn)百勝.同學(xué)們可適當(dāng)?shù)赜?xùn)練自己報(bào)考的或其他高校近幾年自主招生考試的試題，熟悉一下題型是有益的.

自主招生考試中有一些題是前幾年的考試真題改編，甚至是原題，例如前面提到的2007年上海交通大學(xué)冬令營(yíng)的問(wèn)題，其實(shí)在2004年上海交通大學(xué)冬令營(yíng)中就已出現(xiàn)過(guò)類似問(wèn)題（見(jiàn)本書(shū)第四講）：

已知f(x)?ax4?x3?(5?8a)x2?6x?9a.試求出：當(dāng)實(shí)數(shù)x取何值時(shí)，（1）總有f(x)=0；（2）總有f(x)?0.

又如，下面兩題是同一類問(wèn)題：

cos?(??R)的值域.2?sin?

1?sinx（2005年復(fù)旦大學(xué)，本書(shū)第十二講）求：y?的最大值.2?cosx（2012年“卓越聯(lián)盟”，本書(shū)第十二講）求：y?

再如，下面3道都是姊妹題：

（2012年復(fù)旦大學(xué)，本書(shū)第十七講）記2012！=1?2?3???2012為從1到2012之間所有整數(shù)的連乘積，則2012！值的尾部（從個(gè)位往前計(jì)數(shù)）連續(xù)的0的個(gè)數(shù)是.

A.504B.503C.502D.501

（2003年上海交通大學(xué)，本書(shū)第十七講）100！的末尾有個(gè)連續(xù)的零.

（2006年上海交通大學(xué)，本書(shū)第十七講）2005！的末尾有個(gè)連續(xù)的零.

大家留意一下2012年蘇州大學(xué)自主招生的最后一道壓軸題（見(jiàn)本書(shū)第七講）：

已知數(shù)列?an?,?bn?滿足an?1??an?2bn,且bn?1?6an?6bn,且a1?2,b1?4,求an,bn.

其實(shí)，這道題就是2004年復(fù)旦大學(xué)自主招生的試題.

2.3注重知識(shí)的延伸

全國(guó)重點(diǎn)院校自主招生考試試題比高考試題稍難，比數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題又稍易.有些問(wèn)題有一定的深度，這就要求考生平時(shí)要注意知識(shí)點(diǎn)的延伸.

例如，2012年復(fù)旦大學(xué)“千分考”的第128題（見(jiàn)本書(shū)第七講）：

設(shè)x0?0，x1?1，xn?1?

A.2

3B.1

3xn?xn?1，則數(shù)列?

xn?的極限為_(kāi)_____.21D.2

這道題實(shí)際上是利用特征方程特征根求數(shù)列通項(xiàng)公式.

又如，2012年復(fù)旦大學(xué)“千分考”的第113題（見(jiàn)本書(shū)第十五講）：

(1,2,3),P2(2,4,1),P3(1,k,5),P4(4,k+1,3)是空間直角坐標(biāo)系中一個(gè)體積為1的四面體的四個(gè)頂設(shè)P1

點(diǎn)，其中k是實(shí)數(shù)，那么k的值為.

A.1或-2B.-1或2C.-3或4D.-6或12

這道題實(shí)際上是要用到用四階行列式表示四面體的體積公式，是教材中三階行列式表示三角形面積公式的一個(gè)推廣.

再如，2008年復(fù)旦大學(xué)“千分考”的第88題（見(jiàn)本書(shū)第十五講）：

x1

設(shè)x1、x2、x3是方程x3?x?2?0的三個(gè)根，則行列式x2

x3x2x3x1x3x1=().x2

A.-4B.-1C.0D.2

此題要用到兩個(gè)課本之外的知識(shí)點(diǎn)，即三次方程的韋達(dá)定理和公式

a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?ac?bc).

三次方程的韋達(dá)定理雖不難推導(dǎo)，但平時(shí)同學(xué)們對(duì)三次方程比較陌生.而該公式對(duì)于參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)并不陌生.

再看一下2010年“五校聯(lián)考”中有這樣一個(gè)問(wèn)題：

在三角形?ABC，H為垂心，O為外心，中線AD交OH于G，求S?AGH.S?OGD

參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)都清楚，這實(shí)際上是一道與歐拉線有關(guān)的問(wèn)題，若平時(shí)接觸或了解歐拉線的知識(shí)，則做這道題就不費(fèi)吹灰之力.

2.4關(guān)注高考要求很淡化、但自主招生要求很高的內(nèi)容；注重教材之外、課本中沒(méi)有出現(xiàn)的知識(shí)自主招生與高考大約有60%-70%的知識(shí)點(diǎn)是重合的，如數(shù)列、解析幾何、不等式等，這些知識(shí)點(diǎn)無(wú)論是高考還是自主招生都是重點(diǎn)，但下面幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)要提醒考生注意：

（1）三角：高考對(duì)三角的要求比較低，高考中一般出現(xiàn)在解答題的第一或第二題，屬于送分題.但在自主招生中，三角所占的比例比較高，尤其是三角變換，而積化和差、和差化積公式在自主招生考試中是“家常便飯”.大學(xué)教授對(duì)三角比較重視是有道理的，這是因?yàn)榇髮W(xué)里很多內(nèi)容，比如：微積分、復(fù)變函數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)等都要用到三角.

以下兩題分別是2012年“卓越聯(lián)盟”和“北約”自主招生試題，都有相當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)性.

（2012年“卓越聯(lián)盟”，本書(shū)第十二講）設(shè)f(x)?sin(?x??)(??0,??R)，設(shè)T(T?0)，若存在T，使f(x?T)?Tf(x)恒成立，則?的范圍為.

（2012年“北約”，本書(shū)第十二講）

求使得sin4xsin2x?sinxsin3x?a在?0，??有wei/yi解的a.

（2）平面幾何：這塊內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試中必考的，但除了少數(shù)省市，如北京市、江蘇省等在高考中還沒(méi)涉及平面幾何內(nèi)容，大多數(shù)省市高考不考平面幾何.

顯然，初中也學(xué)習(xí)過(guò)平面幾何，但由于時(shí)間長(zhǎng)，多數(shù)同學(xué)早已忘得一干二凈，所以平面幾何得分率很低，多數(shù)同學(xué)在考試中碰到平面問(wèn)題時(shí)，往往不知所措.

以下兩道題是2012年“北約”自主招生考試中與平面幾何中圓有關(guān)的真題：

（2012年“北約”，本書(shū)第十九講）求證：若圓內(nèi)接五邊形的每個(gè)角都相等，則它為正五邊形.

（2012年“北約”）如果銳角?ABC的外接圓圓心為O，求O到三角形三邊的距離比（用三角形的角和三角函數(shù)表示）.

（3）組合：熟悉和學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)知道，組合是全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試中必考的內(nèi)容之一（聯(lián)賽加試共四道），2012年“華約”和“北約”分別考到一道組合問(wèn)題，其中“北約”的組合問(wèn)題帶有數(shù)論的味道，下面是2012年“華約”和“北約”自主招生真題：（2012年“華約”，本書(shū)第十八講）有n(n?2)位乒乓球選手，他們互相進(jìn)行了若干場(chǎng)乒乓球雙打比賽，并且發(fā)現(xiàn)任意兩名選手作為隊(duì)友恰好只參加過(guò)一次比賽，請(qǐng)問(wèn)n的所有可能值.

（2012年“北約”，本書(shū)第十八講）在1，2，?，2012中取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，最多能取多少個(gè)數(shù)？

2.5加強(qiáng)運(yùn)算能力的訓(xùn)練，提高解題速度

前面提到，自主招生考試中對(duì)考生解題速度要求極高，在此提醒同學(xué)們注意的是，平時(shí)少用計(jì)算器，尤其是上海的考生.首先我要說(shuō)的是適當(dāng)?shù)氖褂糜?jì)算器并不是壞事，但確實(shí)有不少學(xué)生過(guò)分依賴計(jì)算器，而自主招生考試中是禁止使用計(jì)算器的，所以習(xí)慣使用計(jì)算器的不少上海學(xué)生，在自主招生考試中會(huì)手忙腳亂，不知所措.

（注：本文是根據(jù)作者編著《名牌大學(xué)自主招生高效備考數(shù)學(xué)》（華東師范大學(xué)出版社）一書(shū)改編）

判斷集合?(x,y)4x?2y?5?0?與?(x,y)x?0,y?0?是否為開(kāi)集，并證明你的結(jié)論.

2010年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試32道試題中，有六七道題涉及此方面的問(wèn)題，例如：

設(shè)集合X是實(shí)數(shù)集R的子集，如果點(diǎn)x0?R滿足：對(duì)任意a?0，都存在x?X，使得0?x?x0?a，那么稱x0為集合X的聚點(diǎn).用Z表示整數(shù)集，則在下列集合?n??1?以0為聚點(diǎn)的集合有.(1)?n?Z,n?0?,(2)R\?0?,(3)?n?Z,n?0?,(4)整數(shù)集Ζ中，?n?1??n?

A.(2)(3)B.(1)(4)C.(1)(3)D.(1)(2)(4)

該題的詳細(xì)解答請(qǐng)參考本書(shū)的第一講.

“開(kāi)集”、“聚點(diǎn)”等是高等數(shù)學(xué)中非常重要的概念，同學(xué)們以后會(huì)在數(shù)學(xué)分析、拓?fù)涞日n程中學(xué)習(xí)到.

1.5考試題量大、對(duì)考生熟練程度要求極高

由于自主招生考試只是針對(duì)少數(shù)特長(zhǎng)生、優(yōu)秀精英學(xué)生的考試，無(wú)論是“北約”、“華約”，還是“卓越聯(lián)盟”、復(fù)旦大學(xué)“千分考”等，對(duì)考生的解題速度都有很高的要求.

2012年，“北約”考試題型是文理科各7道（文科1-7題，理科3-9題），全部是解答題，語(yǔ)、數(shù)、外三科合在一起，考試時(shí)間共計(jì)3小時(shí)；“卓越聯(lián)盟”試卷有6道解答題、6道填空題，考試時(shí)間是90分鐘；“華約”試卷有10道選擇題、5道解答題，考試時(shí)間是90分鐘；復(fù)旦大學(xué)“千分考”十門(mén)共計(jì)200道選擇題，其中數(shù)學(xué)題32道，考試時(shí)間為3小時(shí)，平均每道題54秒.

2.應(yīng)試和準(zhǔn)備策略

針對(duì)自主招生試題的上述特點(diǎn)，大家在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

2.1注意知識(shí)點(diǎn)的全面

數(shù)學(xué)題目被猜中的可能性很小，知識(shí)一般都是靠平時(shí)積累，剩下的就是個(gè)人的臨場(chǎng)發(fā)揮.數(shù)學(xué)需要靠平時(shí)扎扎實(shí)實(shí)的學(xué)習(xí)才能考出好成績(jī).

另外，對(duì)有些平時(shí)不太注意或高考不一定考的知識(shí)點(diǎn)，如矩陣、行列式等也不能忽視.

2.2適當(dāng)做一些近幾年的自主招生考試的真題

俗話說(shuō)，知己知彼，百戰(zhàn)百勝.同學(xué)們可適當(dāng)?shù)赜?xùn)練自己報(bào)考的或其他高校近幾年自主招生考試的試題，熟悉一下題型是有益的.

自主招生考試中有一些題是前幾年的考試真題改編，甚至是原題，例如前面提到的2007年上海交通大學(xué)冬令營(yíng)的問(wèn)題，其實(shí)在2004年上海交通大學(xué)冬令營(yíng)中就已出現(xiàn)過(guò)類似問(wèn)題（見(jiàn)本書(shū)第四講）：

已知f(x)?ax4?x3?(5?8a)x2?6x?9a.試求出：當(dāng)實(shí)數(shù)x取何值時(shí)，（1）總有f(x)=0；（2）總有f(x)?0.

又如，下面兩題是同一類問(wèn)題：

cos?(??R)的值域.2?sin?

1?sinx（2005年復(fù)旦大學(xué)，本書(shū)第十二講）求：y?的最大值.2?cosx（2012年“卓越聯(lián)盟”，本書(shū)第十二講）求：y?

再如，下面3道都是姊妹題：

（2012年復(fù)旦大學(xué)，本書(shū)第十七講）記2012！=1?2?3???2012為從1到2012之間所有整數(shù)的連乘積，則2012！值的尾部（從個(gè)位往前計(jì)數(shù)）連續(xù)的0的個(gè)數(shù)是.

A.504B.503C.502D.501

（2003年上海交通大學(xué)，本書(shū)第十七講）100！的末尾有個(gè)連續(xù)的零.

（2006年上海交通大學(xué)，本書(shū)第十七講）2005！的末尾有個(gè)連續(xù)的零.

大家留意一下2012年蘇州大學(xué)自主招生的最后一道壓軸題（見(jiàn)本書(shū)第七講）：

已知數(shù)列?an?,?bn?滿足an?1??an?2bn,且bn?1?6an?6bn,且a1?2,b1?4,求an,bn.

其實(shí)，這道題就是2004年復(fù)旦大學(xué)自主招生的試題.

2.3注重知識(shí)的延伸

全國(guó)重點(diǎn)院校自主招生考試試題比高考試題稍難，比數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題又稍易.有些問(wèn)題有一定的深度，這就要求考生平時(shí)要注意知識(shí)點(diǎn)的延伸.

例如，2012年復(fù)旦大學(xué)“千分考”的第128題（見(jiàn)本書(shū)第七講）：

設(shè)x0?0，x1?1，xn?1?

A.2

3B.1

3xn?xn?1，則數(shù)列?

xn?的極限為_(kāi)_____.21D.2

這道題實(shí)際上是利用特征方程特征根求數(shù)列通項(xiàng)公式.

又如，2012年復(fù)旦大學(xué)“千分考”的第113題（見(jiàn)本書(shū)第十五講）：

(1,2,3),P2(2,4,1),P3(1,k,5),P4(4,k+1,3)是空間直角坐標(biāo)系中一個(gè)體積為1的四面體的四個(gè)頂設(shè)P1

點(diǎn)，其中k是實(shí)數(shù)，那么k的值為.

A.1或-2B.-1或2C.-3或4D.-6或12

這道題實(shí)際上是要用到用四階行列式表示四面體的體積公式，是教材中三階行列式表示三角形面積公式的一個(gè)推廣.

再如，2008年復(fù)旦大學(xué)“千分考”的第88題（見(jiàn)本書(shū)第十五講）：

x1

設(shè)x1、x2、x3是方程x3?x?2?0的三個(gè)根，則行列式x2

x3x2x3x1x3x1=().x2

A.-4B.-1C.0D.2

此題要用到兩個(gè)課本之外的知識(shí)點(diǎn)，即三次方程的韋達(dá)定理和公式

a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?ac?bc).

三次方程的韋達(dá)定理雖不難推導(dǎo)，但平時(shí)同學(xué)們對(duì)三次方程比較陌生.而該公式對(duì)于參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)并不陌生.

再看一下2010年“五校聯(lián)考”中有這樣一個(gè)問(wèn)題：

在三角形?ABC，H為垂心，O為外心，中線AD交OH于G，求S?AGH.S?OGD

參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)都清楚，這實(shí)際上是一道與歐拉線有關(guān)的問(wèn)題，若平時(shí)接觸或了解歐拉線的知識(shí)，則做這道題就不費(fèi)吹灰之力.

2.4關(guān)注高考要求很淡化、但自主招生要求很高的內(nèi)容；注重教材之外、課本中沒(méi)有出現(xiàn)的知識(shí)自主招生與高考大約有60%-70%的知識(shí)點(diǎn)是重合的，如數(shù)列、解析幾何、不等式等，這些知識(shí)點(diǎn)無(wú)論是高考還是自主招生都是重點(diǎn)，但下面幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)要提醒考生注意：

（1）三角：高考對(duì)三角的要求比較低，高考中一般出現(xiàn)在解答題的第一或第二題，屬于送分題.但在自主招生中，三角所占的比例比較高，尤其是三角變換，而積化和差、和差化積公式在自主招生考試中是“家常便飯”.大學(xué)教授對(duì)三角比較重視是有道理的，這是因?yàn)榇髮W(xué)里很多內(nèi)容，比如：微積分、復(fù)變函數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)等都要用到三角.

以下兩題分別是2012年“卓越聯(lián)盟”和“北約”自主招生試題，都有相當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)性.

（2012年“卓越聯(lián)盟”，本書(shū)第十二講）設(shè)f(x)?sin(?x??)(??0,??R)，設(shè)T(T?0)，若存在T，使f(x?T)?Tf(x)恒成立，則?的范圍為.

（2012年“北約”，本書(shū)第十二講）

求使得sin4xsin2x?sinxsin3x?a在?0，??有wei/yi解的a.

（2）平面幾何：這塊內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試中必考的，但除了少數(shù)省市，如北京市、江蘇省等在高考中還沒(méi)涉及平面幾何內(nèi)容，大多數(shù)省市高考不考平面幾何.

顯然，初中也學(xué)習(xí)過(guò)平面幾何，但由于時(shí)間長(zhǎng)，多數(shù)同學(xué)早已忘得一干二凈，所以平面幾何得分率很低，多數(shù)同學(xué)在考試中碰到平面問(wèn)題時(shí)，往往不知所措.

以下兩道題是2012年“北約”自主招生考試中與平面幾何中圓有關(guān)的真題：

（2012年“北約”，本書(shū)第十九講）求證：若圓內(nèi)接五邊形的每個(gè)角都相等，則它為正五邊形.

（2012年“北約”）如果銳角?ABC的外接圓圓心為O，求O到三角形三邊的距離比（用三角形的角和三角函數(shù)表示）.

（3）組合：熟悉和學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)知道，組合是全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試中必考的內(nèi)容之一（聯(lián)賽加試共四道），2012年“華約”和“北約”分別考到一道組合問(wèn)題，其中“北約”的組合問(wèn)題帶有數(shù)論的味道，下面是2012年“華約”和“北約”自主招生真題：（2012年“華約”，本書(shū)第十八講）有n(n?2)位乒乓球選手，他們互相進(jìn)行了若干場(chǎng)乒乓球雙打比賽，并且發(fā)現(xiàn)任意兩名選手作為隊(duì)友恰好只參加過(guò)一次比賽，請(qǐng)問(wèn)n的所有可能值.

（2012年“北約”，本書(shū)第十八講）在1，2，?，2012中取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，最多能取多少個(gè)數(shù)？

2.5加強(qiáng)運(yùn)算能力的訓(xùn)練，提高解題速度

前面提到，自主招生考試中對(duì)考生解題速度要求極高，在此提醒同學(xué)們注意的是，平時(shí)少用計(jì)算器，尤其是上海的考生.首先我要說(shuō)的是適當(dāng)?shù)氖褂糜?jì)算器并不是壞事，但確實(shí)有不少學(xué)生過(guò)分依賴計(jì)算器，而自主招生考試中是禁止使用計(jì)算器的，所以習(xí)慣使用計(jì)算器的不少上海學(xué)生，在自主招生考試中會(huì)手忙腳亂，不知所措.

（注：本文是根據(jù)作者編著《名牌大學(xué)自主招生高效備考數(shù)學(xué)》（華東師范大學(xué)出版社）一書(shū)改編）

已知f(x)?ax4?x3?(5?8a)x2?6x?9a.試求出：當(dāng)實(shí)數(shù)x取何值時(shí)，（1）總有f(x)=0；（2）總有f(x)?0.

又如，下面兩題是同一類問(wèn)題：

cos?(??R)的值域.2?sin?

1?sinx（2005年復(fù)旦大學(xué)，本書(shū)第十二講）求：y?的最大值.2?cosx（2012年“卓越聯(lián)盟”，本書(shū)第十二講）求：y?

再如，下面3道都是姊妹題：

（2012年復(fù)旦大學(xué)，本書(shū)第十七講）記2012！=1?2?3???2012為從1到2012之間所有整數(shù)的連乘積，則2012！值的尾部（從個(gè)位往前計(jì)數(shù)）連續(xù)的0的個(gè)數(shù)是.

A.504B.503C.502D.501

（2003年上海交通大學(xué)，本書(shū)第十七講）100！的末尾有個(gè)連續(xù)的零.

（2006年上海交通大學(xué)，本書(shū)第十七講）2005！的末尾有個(gè)連續(xù)的零.

大家留意一下2012年蘇州大學(xué)自主招生的最后一道壓軸題（見(jiàn)本書(shū)第七講）：

已知數(shù)列?an?,?bn?滿足an?1??an?2bn,且bn?1?6an?6bn,且a1?2,b1?4,求an,bn.

其實(shí)，這道題就是2004年復(fù)旦大學(xué)自主招生的試題.

2.3注重知識(shí)的延伸

全國(guó)重點(diǎn)院校自主招生考試試題比高考試題稍難，比數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題又稍易.有些問(wèn)題有一定的深度，這就要求考生平時(shí)要注意知識(shí)點(diǎn)的延伸.

例如，2012年復(fù)旦大學(xué)“千分考”的第128題（見(jiàn)本書(shū)第七講）：

設(shè)x0?0，x1?1，xn?1?

A.2

3B.1

3xn?xn?1，則數(shù)列?

xn?的極限為_(kāi)_____.21D.2

這道題實(shí)際上是利用特征方程特征根求數(shù)列通項(xiàng)公式.

又如，2012年復(fù)旦大學(xué)“千分考”的第113題（見(jiàn)本書(shū)第十五講）：

(1,2,3),P2(2,4,1),P3(1,k,5),P4(4,k+1,3)是空間直角坐標(biāo)系中一個(gè)體積為1的四面體的四個(gè)頂設(shè)P1

點(diǎn)，其中k是實(shí)數(shù)，那么k的值為.

A.1或-2B.-1或2C.-3或4D.-6或12

這道題實(shí)際上是要用到用四階行列式表示四面體的體積公式，是教材中三階行列式表示三角形面積公式的一個(gè)推廣.

再如，2008年復(fù)旦大學(xué)“千分考”的第88題（見(jiàn)本書(shū)第十五講）：

x1

設(shè)x1、x2、x3是方程x3?x?2?0的三個(gè)根，則行列式x2

x3x2x3x1x3x1=().x2

A.-4B.-1C.0D.2

此題要用到兩個(gè)課本之外的知識(shí)點(diǎn)，即三次方程的韋達(dá)定理和公式

a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?ac?bc).

三次方程的韋達(dá)定理雖不難推導(dǎo)，但平時(shí)同學(xué)們對(duì)三次方程比較陌生.而該公式對(duì)于參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)并不陌生.

再看一下2010年“五校聯(lián)考”中有這樣一個(gè)問(wèn)題：

在三角形?ABC，H為垂心，O為外心，中線AD交OH于G，求S?AGH.S?OGD

參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)都清楚，這實(shí)際上是一道與歐拉線有關(guān)的問(wèn)題，若平時(shí)接觸或了解歐拉線的知識(shí)，則做這道題就不費(fèi)吹灰之力.

2.4關(guān)注高考要求很淡化、但自主招生要求很高的內(nèi)容；注重教材之外、課本中沒(méi)有出現(xiàn)的知識(shí)自主招生與高考大約有60%-70%的知識(shí)點(diǎn)是重合的，如數(shù)列、解析幾何、不等式等，這些知識(shí)點(diǎn)無(wú)論是高考還是自主招生都是重點(diǎn)，但下面幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)要提醒考生注意：

（1）三角：高考對(duì)三角的要求比較低，高考中一般出現(xiàn)在解答題的第一或第二題，屬于送分題.但在自主招生中，三角所占的比例比較高，尤其是三角變換，而積化和差、和差化積公式在自主招生考試中是“家常便飯”.大學(xué)教授對(duì)三角比較重視是有道理的，這是因?yàn)榇髮W(xué)里很多內(nèi)容，比如：微積分、復(fù)變函數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)等都要用到三角.

以下兩題分別是2012年“卓越聯(lián)盟”和“北約”自主招生試題，都有相當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)性.

（2012年“卓越聯(lián)盟”，本書(shū)第十二講）設(shè)f(x)?sin(?x??)(??0,??R)，設(shè)T(T?0)，若存在T，使f(x?T)?Tf(x)恒成立，則?的范圍為.

（2012年“北約”，本書(shū)第十二講）

求使得sin4xsin2x?sinxsin3x?a在?0，??有wei/yi解的a.

（2）平面幾何：這塊內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試中必考的，但除了少數(shù)省市，如北京市、江蘇省等在高考中還沒(méi)涉及平面幾何內(nèi)容，大多數(shù)省市高考不考平面幾何.

顯然，初中也學(xué)習(xí)過(guò)平面幾何，但由于時(shí)間長(zhǎng)，多數(shù)同學(xué)早已忘得一干二凈，所以平面幾何得分率很低，多數(shù)同學(xué)在考試中碰到平面問(wèn)題時(shí)，往往不知所措.

以下兩道題是2012年“北約”自主招生考試中與平面幾何中圓有關(guān)的真題：

（2012年“北約”，本書(shū)第十九講）求證：若圓內(nèi)接五邊形的每個(gè)角都相等，則它為正五邊形.

（2012年“北約”）如果銳角?ABC的外接圓圓心為O，求O到三角形三邊的距離比（用三角形的角和三角函數(shù)表示）.

（3）組合：熟悉和學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)知道，組合是全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試中必考的內(nèi)容之一（聯(lián)賽加試共四道），2012年“華約”和“北約”分別考到一道組合問(wèn)題，其中“北約”的組合問(wèn)題帶有數(shù)論的味道，下面是2012年“華約”和“北約”自主招生真題：（2012年“華約”，本書(shū)第十八講）有n(n?2)位乒乓球選手，他們互相進(jìn)行了若干場(chǎng)乒乓球雙打比賽，并且發(fā)現(xiàn)任意兩名選手作為隊(duì)友恰好只參加過(guò)一次比賽，請(qǐng)問(wèn)n的所有可能值.

（2012年“北約”，本書(shū)第十八講）在1，2，?，2012中取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，最多能取多少個(gè)數(shù)？

2.5加強(qiáng)運(yùn)算能力的訓(xùn)練，提高解題速度

前面提到，自主招生考試中對(duì)考生解題速度要求極高，在此提醒同學(xué)們注意的是，平時(shí)少用計(jì)算器，尤其是上海的考生.首先我要說(shuō)的是適當(dāng)?shù)氖褂糜?jì)算器并不是壞事，但確實(shí)有不少學(xué)生過(guò)分依賴計(jì)算器，而自主招生考試中是禁止使用計(jì)算器的，所以習(xí)慣使用計(jì)算器的不少上海學(xué)生，在自主招生考試中會(huì)手忙腳亂，不知所措.

（注：本文是根據(jù)作者編著《名牌大學(xué)自主招生高效備考數(shù)學(xué)》（華東師范大學(xué)出版社）一書(shū)改編）

x1

設(shè)x1、x2、x3是方程x3?x?2?0的三個(gè)根，則行列式x2

x3x2x3x1x3x1=().x2

A.-4B.-1C.0D.2

此題要用到兩個(gè)課本之外的知識(shí)點(diǎn)，即三次方程的韋達(dá)定理和公式

a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?ac?bc).

三次方程的韋達(dá)定理雖不難推導(dǎo)，但平時(shí)同學(xué)們對(duì)三次方程比較陌生.而該公式對(duì)于參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)并不陌生.

再看一下2010年“五校聯(lián)考”中有這樣一個(gè)問(wèn)題：

在三角形?ABC，H為垂心，O為外心，中線AD交OH于G，求S?AGH.S?OGD

參加過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)都清楚，這實(shí)際上是一道與歐拉線有關(guān)的問(wèn)題，若平時(shí)接觸或了解歐拉線的知識(shí)，則做這道題就不費(fèi)吹灰之力.

2.4關(guān)注高考要求很淡化、但自主招生要求很高的內(nèi)容；注重教材之外、課本中沒(méi)有出現(xiàn)的知識(shí)自主招生與高考大約有60%-70%的知識(shí)點(diǎn)是重合的，如數(shù)列、解析幾何、不等式等，這些知識(shí)點(diǎn)無(wú)論是高考還是自主招生都是重點(diǎn)，但下面幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)要提醒考生注意：

（1）三角：高考對(duì)三角的要求比較低，高考中一般出現(xiàn)在解答題的第一或第二題，屬于送分題.但在自主招生中，三角所占的比例比較高，尤其是三角變換，而積化和差、和差化積公式在自主招生考試中是“家常便飯”.大學(xué)教授對(duì)三角比較重視是有道理的，這是因?yàn)榇髮W(xué)里很多內(nèi)容，比如：微積分、復(fù)變函數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)等都要用到三角.

以下兩題分別是2012年“卓越聯(lián)盟”和“北約”自主招生試題，都有相當(dāng)?shù)奶魬?zhàn)性.

（2012年“卓越聯(lián)盟”，本書(shū)第十二講）設(shè)f(x)?sin(?x??)(??0,??R)，設(shè)T(T?0)，若存在T，使f(x?T)?Tf(x)恒成立，則?的范圍為.

（2012年“北約”，本書(shū)第十二講）

求使得sin4xsin2x?sinxsin3x?a在?0，??有wei/yi解的a.

（2）平面幾何：這塊內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試中必考的，但除了少數(shù)省市，如北京市、江蘇省等在高考中還沒(méi)涉及平面幾何內(nèi)容，大多數(shù)省市高考不考平面幾何.

顯然，初中也學(xué)習(xí)過(guò)平面幾何，但由于時(shí)間長(zhǎng)，多數(shù)同學(xué)早已忘得一干二凈，所以平面幾何得分率很低，多數(shù)同學(xué)在考試中碰到平面問(wèn)題時(shí)，往往不知所措.

以下兩道題是2012年“北約”自主招生考試中與平面幾何中圓有關(guān)的真題：

（2012年“北約”，本書(shū)第十九講）求證：若圓內(nèi)接五邊形的每個(gè)角都相等，則它為正五邊形.

（2012年“北約”）如果銳角?ABC的外接圓圓心為O，求O到三角形三邊的距離比（用三角形的角和三角函數(shù)表示）.

（3）組合：熟悉和學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)知道，組合是全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試中必考的內(nèi)容之一（聯(lián)賽加試共四道），2012年“華約”和“北約”分別考到一道組合問(wèn)題，其中“北約”的組合問(wèn)題帶有數(shù)論的味道，下面是2012年“華約”和“北約”自主招生真題：（2012年“華約”，本書(shū)第十八講）有n(n?2)位乒乓球選手，他們互相進(jìn)行了若干場(chǎng)乒乓球雙打比賽，并且發(fā)現(xiàn)任意兩名選手作為隊(duì)友恰好只參加過(guò)一次比賽，請(qǐng)問(wèn)n的所有可能值.

（2012年“北約”，本書(shū)第十八講）在1，2，?，2012中取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，最多能取多少個(gè)數(shù)？

2.5加強(qiáng)運(yùn)算能力的訓(xùn)練，提高解題速度

前面提到，自主招生考試中對(duì)考生解題速度要求極高，在此提醒同學(xué)們注意的是，平時(shí)少用計(jì)算器，尤其是上海的考生.首先我要說(shuō)的是適當(dāng)?shù)氖褂糜?jì)算器并不是壞事，但確實(shí)有不少學(xué)生過(guò)分依賴計(jì)算器，而自主招生考試中是禁止使用計(jì)算器的，所以習(xí)慣使用計(jì)算器的不少上海學(xué)生，在自主招生考試中會(huì)手忙腳亂，不知所措.

（注：本文是根據(jù)作者編著《名牌大學(xué)自主招生高效備考數(shù)學(xué)》（華東師范大學(xué)出版社）一書(shū)改編）

以下兩道題是2012年“北約”自主招生考試中與平面幾何中圓有關(guān)的真題：

（2012年“北約”，本書(shū)第十九講）求證：若圓內(nèi)接五邊形的每個(gè)角都相等，則它為正五邊形.

（2012年“北約”）如果銳角?ABC的外接圓圓心為O，求O到三角形三邊的距離比（用三角形的角和三角函數(shù)表示）.

（3）組合：熟悉和學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)知道，組合是全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試中必考的內(nèi)容之一（聯(lián)賽加試共四道），2012年“華約”和“北約”分別考到一道組合問(wèn)題，其中“北約”的組合問(wèn)題帶有數(shù)論的味道，下面是2012年“華約”和“北約”自主招生真題：（2012年“華約”，本書(shū)第十八講）有n(n?2)位乒乓球選手，他們互相進(jìn)行了若干場(chǎng)乒乓球雙打比賽，并且發(fā)現(xiàn)任意兩名選手作為隊(duì)友恰好只參加過(guò)一次比賽，請(qǐng)問(wèn)n的所有可能值.

（2012年“北約”，本書(shū)第十八講）在1，2，?，2012中取一組數(shù)，使得任意兩數(shù)之和不能被其差整除，最多能取多少個(gè)數(shù)？

2.5加強(qiáng)運(yùn)算能力的訓(xùn)練，提高解題速度

前面提到，自主招生考試中對(duì)考生解題速度要求極高，在此提醒同學(xué)們注意的是，平時(shí)少用計(jì)算器，尤其是上海的考生.首先我要說(shuō)的是適當(dāng)?shù)氖褂糜?jì)算器并不是壞事，但確實(shí)有不少學(xué)生過(guò)分依賴計(jì)算器，而自主招生考試中是禁止使用計(jì)算器的，所以習(xí)慣使用計(jì)算器的不少上海學(xué)生，在自主招生考試中會(huì)手忙腳亂，不知所措.

（注：本文是根據(jù)作者編著《名牌大學(xué)自主招生高效備考數(shù)學(xué)》（華東師范大學(xué)出版社）一書(shū)改編）

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