王老師精品講義

2004-2013北大清華等自主招生考試數(shù)學(xué)試題

2004年名牌大學(xué)自主招生考試試題(l)

適用高校：復(fù)旦大學(xué)

一、填空題(每題8分，共80分)

1

．設(shè)x8?1?(x42?1)(x4?ax2?1)，則.

2．已知|5x+3|+|5x?4|=7，則x的取值范圍是.

x2y2

3.橢圓??1內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)最大值是.169

4.12只手套(左右有區(qū)別)形成6雙不同的搭配,要從中取出6只正好能形成2雙,有種取法．

5．已知等比數(shù)列?an?中a1=3,，且第l項(xiàng)至第8項(xiàng)的幾何平均數(shù)為9，則第3項(xiàng)為

6．若x2?(a?1)x?a?0的所有整數(shù)解之和為27，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(x?4)2y2x2y2

??1,則?的最大值為.7．己知4949

28．設(shè)x1、x2是方程x?xsin?＋cos?=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，那么arctanx1+arctanx23

535

9.方程z?z的非零解是.

10．方程y?21?x

1?x3的值域是.

二、解答題(每題15分,共120分)

1.解方程

:log5(x?1.

2.已知sin(???)?

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3．已知過(guò)兩拋物線C1：x＋1=(y?1)2，及C2：(y?1)2＝?4x?a+11的一個(gè)交點(diǎn)的兩條切線互相垂直，求a的值．

4．若存在M,使任意x∈D(D為函數(shù)f(x)的定義域)，都有|f(x)|≤M．則稱函數(shù)f(x)有界,函數(shù)f(x)=在x??0,?上是否有界？

5.求證

:1

6.已知E是棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD?A1BC11D1的棱AB的中點(diǎn),求點(diǎn)B到平面A1EC的距離.

7.比較log2425與log2526的大小,并說(shuō)明理由.

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8.已知數(shù)列?an?,?bn?滿足an?1??an?2bn,且bn?1?6an?6bn,又a1?2,b1?4,

求:(1)an,bn,;(2)1imlim

2004年名牌大學(xué)自主招生考試試題(2)

適用高校：上海交通大學(xué)

一、填空題(每題4分,共40分)

1．已知x、y、z是作負(fù)整數(shù),且x+y+z=10，x+2y+3z=30，則x+5y+3z的取值范圍是

2．長(zhǎng)為1的鋼絲折成三段與另一墻面圍成封閉矩形，則矩形面積的最大值是.

3

．函數(shù)y?0?x?an.n??bn???的值域是.2?

4．已知三角形又邊的長(zhǎng)a、b、c均為正整數(shù)，且a≤b≤c，b=n，則滿足條件的三角形r的個(gè)數(shù)為5．設(shè)x2+ax+b和x2+bx+c的最大公因式為x+1，最小公倍式為x3+(c?1)x2+(b+3)x+d，則(a,b.c,d)=

6．已知

1?a?

7．整數(shù)7?|x|的相異實(shí)根的個(gè)數(shù)是.818?2004?36?的個(gè)位數(shù)是8．已知數(shù)列{an}滿足a1=l,a2=2,且an?2?3an?1?2an,則a2004.

9．在n×n的正方格中,任意取得的長(zhǎng)方形(長(zhǎng)方形的邊與正方格的邊平行或重合)是正方形的概率是.

10．已知6xyzabc?7abcxyz，則xyzabc?.

二、解答題(本大題共60分)

1.已知矩形的長(zhǎng)、寬分別為a、b,現(xiàn)在把矩形翻折,使矩形的對(duì)頂點(diǎn)重合,求所得折痕的長(zhǎng).

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2.某二項(xiàng)式展開式中,相鄰a(a≥3,a∈N+)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為1:2:3:?:a,求二項(xiàng)式的次數(shù)與a的值,以及各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).

3.已知f(x)=ax4?x3?(5?8a)x2?6x?9a,證明:

(1)恒有實(shí)數(shù)x,使f(x)=0,

(2)存在實(shí)數(shù)x，使f(x)的值恒不為0.

4.已知f1(x)=

5.對(duì)于兩條垂直直線和一個(gè)橢圓,已知橢圓無(wú)論如何滑動(dòng)都與兩條直線相切,求橢圓中心的軌跡.

6．已知｛an｝是公差為6的等差數(shù)列，bn?1?an?1?an(n∈N+).

(l)用a1、b1、n表示數(shù)｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)若a1＝b1=a，a∈[27,33]，求an的最小值及取最小值時(shí)n的值．

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2005年名牌大學(xué)自主招生考試試題(l)

適用高校：復(fù)旦大學(xué)

一、填空題(每題5分,共50分)

1．已知集合A={x|log2(x2?x?1)?0,x?R},B={x|2x?21?x?1,x?R},則A?eR.

2.設(shè)數(shù)x滿足x＋11300=?1,則x?300.xx

3．圓?

＝??5cos?的圓心的極坐標(biāo)為,其中??[0,2?).

4．設(shè)拋物線y=2x2+2ax+a2與直線y=x+1交于A，B兩點(diǎn),當(dāng)|AB|最大時(shí),a＝.

5

．計(jì)算：.n??6．化簡(jiǎn)：l+3+6＋…＋n(n?1).2

7．一個(gè)班有20個(gè)學(xué)生，其中有3個(gè)女生，抽4個(gè)人去參觀展覽館，恰好抽到l個(gè)女生的概率為.

8．寫出31000在十進(jìn)制中的最后4位.

9．設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f?

10.函數(shù)y＝?x?2002??=4015?x(x≠1),則.x?1??1?sinx的最大值是.2?cosx

二、解答(本大題共70分)

x2y2

1.在四分之一個(gè)橢圓2?2?1(x?0,y?0,a,b?0)上取一點(diǎn)P,使過(guò)點(diǎn)P橢圓的切線與坐標(biāo)軸所成ab

的三角形的面積最小.

2.在?ABC中,已知tanA:tanB:tanC?1:2:3,求

AC.AB

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3．在單位正方體ABCD?A1B1C1D1中,E、F、G分別是AD、AA1、A1B1的中點(diǎn),求：

(l)點(diǎn)B到面EFG的距離；(2)二而角G?EF?D1的平面角?.

4

=3的實(shí)數(shù)根．

5.

已知sin??cos??a(0?a?,求sin??cos?關(guān)于a的表達(dá)式.

6．設(shè)直線l與雙曲線xy=l交于P、Q兩點(diǎn)，直線l與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,求證：|AP|=|BQ|.

nn

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