蕪湖一中2013年高一自主招生考試

數(shù)學(xué)試卷

1．在△ABC中，∠C=90°，∠B的平分線(xiàn)交AC于D．則A．sinB

B．cosB

C．tanB

=：

AD1D．

tanB

2．在分別標(biāo)有號(hào)碼

2，3，4，…，10的9張卡片中，隨機(jī)取出兩張卡片，記下

它們的標(biāo)號(hào)，則較大標(biāo)號(hào)被較小標(biāo)號(hào)整除的概率是：A．

7

36

B．

518

C．

29

D．

14

3．已知梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(?1,0)，B(5,0)，C(2,2)，D(0,2)，直線(xiàn)y?kx?2將梯形分成面積相等的兩部分，則k的值為：

2242

B．?C．?D．?

3977

4．如圖，三個(gè)全等的正方形內(nèi)接于圓，正方形的邊長(zhǎng)為16，則圓的半徑為：

A．?

A．

B．

C．

D．5．若自然數(shù)n使得作豎式加法n?(n?1)?(n?2)時(shí)均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，便稱(chēng)n為“好數(shù)”．如因?yàn)?2+13+14不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，所以12是“好數(shù)”；但13+14+15產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象，所以13不是“好數(shù)”，則不超過(guò)100的“好數(shù)”共有:A．9個(gè)B．11個(gè)C．12個(gè)D．15個(gè)6．函數(shù)y?x|x|?2x?2的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是：

A．4

B．3

C．1

D．0

27．已知實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足(a?1)?(a?6)2?10?|b?3|?|b?2|，則a2?b2的最大值為：

A．50B．45C．40D．10

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題7分，共42分）

8．已知關(guān)于x的方程x?x?k有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

1

10．如圖，點(diǎn)A、C都在函數(shù)y?3(x?0)的圖象上，點(diǎn)B、D都在x

xx軸上，且使得△OAB、△BCD都是等邊三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)

為．

212．二次函數(shù)y?ax?bx?c的圖象如圖所示，Q(n,2)是圖象上的一點(diǎn)，且AQ?BQ，則a

的值為．

(第12題圖)(第13題圖①)(第13題圖②)

13．將兩個(gè)相似比為1：2的等腰直角三角形如圖①放置，小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合．繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)小直角三角形，使它的斜邊與AB交于點(diǎn)E，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)與AB交于點(diǎn)F，如圖②．若AE?2,BF?1，則EF=.

三、解答題（本大題共5個(gè)小題，計(jì)66分，寫(xiě)出必要的推算或演算步驟）

14．（本題12分）一輛客車(chē)、一輛貨車(chē)和一輛小轎車(chē)在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時(shí)刻，客車(chē)在前，小轎車(chē)在后，貨車(chē)在客車(chē)與小轎車(chē)的正中間．過(guò)了10分鐘，小轎車(chē)追上了貨車(chē)；又過(guò)了5分鐘，小轎車(chē)追上了客車(chē)．問(wèn)再過(guò)多少分鐘，貨車(chē)追上了客車(chē)？

2

15．（本題12分）已知m,n為整數(shù)，給出如下三個(gè)關(guān)于x方程：①x?(6?m)x?7?n?0

2

②x?mx?3?n?0

2

③x?(4?m)x?5?n?0

2

若方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，方程②③有且僅有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求

(m?n)2013的值．

16．（本題14分）已知如圖，拋物線(xiàn)y?ax?bx?2與x軸相交于B（x1，0）、C（x2，0）(x1,x2

均大于0)兩點(diǎn),與y軸的正半軸相交于A點(diǎn).過(guò)A、B、C三點(diǎn)的⊙P與y軸相切于點(diǎn)A，其面積為

2

25?

.4

（1）請(qǐng)確定拋物線(xiàn)的解析式；

（2）M為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)MB交⊙P于點(diǎn)D．若△AOB與以A、B、D為頂

點(diǎn)的三角形相似，求MB?MD的值．（先畫(huà)出符合題意的示意圖再求解）．

3

17．（本題14分）如圖，已知菱形ABCD，∠B=60°．△ADC內(nèi)一點(diǎn)M滿(mǎn)足∠AMC=120°，若直線(xiàn)BA與CM交于點(diǎn)P，直線(xiàn)BC與AM交于點(diǎn)Q，求證：P、D、Q三點(diǎn)共線(xiàn)．18．（本題14分）某寄宿制學(xué)校的一間宿舍里住著若干名學(xué)生，其中一人擔(dān)任舍長(zhǎng)．元旦時(shí)，該宿舍里的每名學(xué)生互贈(zèng)一張賀卡，且每人又贈(zèng)給宿舍樓的每位管理員一張賀卡，每位管理員也回贈(zèng)舍長(zhǎng)一張賀卡，這樣共用去了51張賀卡，問(wèn)這間宿舍里住有多少名學(xué)生？

4

數(shù)學(xué)參考答案

11

8．0?k?9．510．(26,0)11．?12212．?13．3

42

三、解答題（本大題共5個(gè)小題，計(jì)66分，寫(xiě)出必要的推算或演算步驟）

14．解：設(shè)在某一時(shí)刻，貨車(chē)與客車(chē)、小轎車(chē)的距離均為S千米，小轎車(chē)、貨車(chē)、客車(chē)的速度分別為a，b，c（千米/分），并設(shè)貨車(chē)經(jīng)x分鐘追上客車(chē)，由題意得

?10(a?b)?S?

?15(a?c)?2S…………………………………………………………………………6分?x(b?c)?S?

∴30（b?c）?S，∴x?30．……………………………………………………10分故30-10-5=15（分）．

答：再過(guò)15分鐘，貨車(chē)追上了客車(chē)．……………………………………………………12分15．解：依題意得

?(6?m)2?4(7?n)?0??(1)?(6?m)2?4(7?n)?0??(1)?2?2

或m?4(3?n)?0????(2)??m?4(3?n)?0????(2)……4分

??22(4?m)?4(5?n)?0??(3)??(4?m)?4(5?n)?0??(3)

由（1）得4n??m?12m?8代入（2）、（3）得又m，n為整數(shù)，?m?2或m?3當(dāng)?m?2時(shí)，n?3；當(dāng)m?3時(shí)，n?

2

5

?m?3或無(wú)解………………7分3

19

（舍）4

?m?2，n?3

則(m?n)

2013

??1……………12分

16．（1）解：根據(jù)題意知：圓半徑PA=

5

，取BC中點(diǎn)為E，連接PB，PE，則PE?BC2

5

，PO=OA=2，由勾股定理和圓性質(zhì)知：2

3

BE=CE=

2

且PB=PA=

5

從而知：B(1,0),C(4,0)…………………………………………………………3分將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，可得：

拋物線(xiàn)的解析式是：y?1x2?5x?2……………………………………6分

2

2

（2）根據(jù)題意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有兩種情況①∠ABD和∠AOB對(duì)應(yīng)，此時(shí)AD是⊙P的直徑則AB=

5

，AD=5，BD=2

5

?Rt?AMB∽R(shí)t?DAB∴MA：AD=AB：BD

即MA=

AB?AD5

?BD2

又?Rt?AMB∽R(shí)t?DMA

∴MA：MD=MB：MA

……………………………………………………10分

②∠BAD和∠AOB對(duì)應(yīng)，此時(shí)BD是⊙P

線(xiàn)MB過(guò)P點(diǎn)

4

即MB·MD=MA2=25

∵B（1，0），P（5,2)

2

∴直線(xiàn)MB的解析式是：y?4x?4

3

3

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，?∴AM=

4

）3

10

由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA3

100

∴MB·MD=MA2=………………………………………………14分

9

17．證:連結(jié)PD,DQ．易證?PAC∽?AMC，

?AMC∽?ACQ，……………………3分

∴∴

PAACACQC

，．??

AMMCAMMC

AC2?PA?QC，………………………………………………7分

∵AC?AD?DC，

6

∴

PAAD

，?

DCQC

∵?PAD??DCQ?60?，

∴?PAD∽?DCQ，…………………………………………………………………………10分∴?APD??CDQ，

∴?PDA??ADC??CDQ?180?，

∴P、D、Q三點(diǎn)共線(xiàn)．……………………………………………………………………14分18．解：這間宿舍住著x名學(xué)生，y名管理員(x,y?N)，

由題意得x(x?1)?xy?y?51，………………………………………………………4分化簡(jiǎn)得x?(y?1)x?y?51?0，

則??(y?1)?4(y?51)?y?6y?205?(y?3)?196，

∵x?N，∴?必為完全平方數(shù)．………………………………………………………6分設(shè)(y?3)?196?k(k?N)，則(y?3?k)(y?3?k)??196，

其中y?3?k和y?3?k具有相同的奇偶性，且y?3?k?y?3?k，

∴?y?3?k?2①或?y?3?k?98②或?y?3?k?14③…10分

2

2

2

2

2

2

?

?y?3?k??98?

?y?3?k??2?

?y?3?k??14

由方程組①得y??45，不合題意，舍去；

由方程組②得y?51，此時(shí)，原方程為x?50x?0，解得x1??50,x2?0（舍去）；由方程組③得y?3，此時(shí)，原方程為x?2x?48?0，解得x1?6,x2??8（舍去）；綜上所述，x?6．

答：這間宿舍里住有6名學(xué)生．…………………………………………………………14分

22

7

17．（本題14分）如圖，已知菱形ABCD，∠B=60°．△ADC內(nèi)一點(diǎn)M滿(mǎn)足∠AMC=120°，若直線(xiàn)BA與CM交于點(diǎn)P，直線(xiàn)BC與AM交于點(diǎn)Q，求證：P、D、Q三點(diǎn)共線(xiàn)．18．（本題14分）某寄宿制學(xué)校的一間宿舍里住著若干名學(xué)生，其中一人擔(dān)任舍長(zhǎng)．元旦時(shí)，該宿舍里的每名學(xué)生互贈(zèng)一張賀卡，且每人又贈(zèng)給宿舍樓的每位管理員一張賀卡，每位管理員也回贈(zèng)舍長(zhǎng)一張賀卡，這樣共用去了51張賀卡，問(wèn)這間宿舍里住有多少名學(xué)生？

4

數(shù)學(xué)參考答案

11

8．0?k?9．510．(26,0)11．?12212．?13．3

42

三、解答題（本大題共5個(gè)小題，計(jì)66分，寫(xiě)出必要的推算或演算步驟）

14．解：設(shè)在某一時(shí)刻，貨車(chē)與客車(chē)、小轎車(chē)的距離均為S千米，小轎車(chē)、貨車(chē)、客車(chē)的速度分別為a，b，c（千米/分），并設(shè)貨車(chē)經(jīng)x分鐘追上客車(chē)，由題意得

?10(a?b)?S?

?15(a?c)?2S…………………………………………………………………………6分?x(b?c)?S?

∴30（b?c）?S，∴x?30．……………………………………………………10分故30-10-5=15（分）．

答：再過(guò)15分鐘，貨車(chē)追上了客車(chē)．……………………………………………………12分15．解：依題意得

?(6?m)2?4(7?n)?0??(1)?(6?m)2?4(7?n)?0??(1)?2?2

或m?4(3?n)?0????(2)??m?4(3?n)?0????(2)……4分

??22(4?m)?4(5?n)?0??(3)??(4?m)?4(5?n)?0??(3)

由（1）得4n??m?12m?8代入（2）、（3）得又m，n為整數(shù)，?m?2或m?3當(dāng)?m?2時(shí)，n?3；當(dāng)m?3時(shí)，n?

2

5

?m?3或無(wú)解………………7分3

19

（舍）4

?m?2，n?3

則(m?n)

2013

??1……………12分

16．（1）解：根據(jù)題意知：圓半徑PA=

5

，取BC中點(diǎn)為E，連接PB，PE，則PE?BC2

5

，PO=OA=2，由勾股定理和圓性質(zhì)知：2

3

BE=CE=

2

且PB=PA=

5

從而知：B(1,0),C(4,0)…………………………………………………………3分將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，可得：

拋物線(xiàn)的解析式是：y?1x2?5x?2……………………………………6分

2

2

（2）根據(jù)題意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有兩種情況①∠ABD和∠AOB對(duì)應(yīng)，此時(shí)AD是⊙P的直徑則AB=

5

，AD=5，BD=2

5

?Rt?AMB∽R(shí)t?DAB∴MA：AD=AB：BD

即MA=

AB?AD5

?BD2

又?Rt?AMB∽R(shí)t?DMA

∴MA：MD=MB：MA

……………………………………………………10分

②∠BAD和∠AOB對(duì)應(yīng)，此時(shí)BD是⊙P

線(xiàn)MB過(guò)P點(diǎn)

4

即MB·MD=MA2=25

∵B（1，0），P（5,2)

2

∴直線(xiàn)MB的解析式是：y?4x?4

3

3

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，?∴AM=

4

）3

10

由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA3

100

∴MB·MD=MA2=………………………………………………14分

9

17．證:連結(jié)PD,DQ．易證?PAC∽?AMC，

?AMC∽?ACQ，……………………3分

∴∴

PAACACQC

，．??

AMMCAMMC

AC2?PA?QC，………………………………………………7分

∵AC?AD?DC，

6

∴

PAAD

，?

DCQC

∵?PAD??DCQ?60?，

∴?PAD∽?DCQ，…………………………………………………………………………10分∴?APD??CDQ，

∴?PDA??ADC??CDQ?180?，

∴P、D、Q三點(diǎn)共線(xiàn)．……………………………………………………………………14分18．解：這間宿舍住著x名學(xué)生，y名管理員(x,y?N)，

由題意得x(x?1)?xy?y?51，………………………………………………………4分化簡(jiǎn)得x?(y?1)x?y?51?0，

則??(y?1)?4(y?51)?y?6y?205?(y?3)?196，

∵x?N，∴?必為完全平方數(shù)．………………………………………………………6分設(shè)(y?3)?196?k(k?N)，則(y?3?k)(y?3?k)??196，

其中y?3?k和y?3?k具有相同的奇偶性，且y?3?k?y?3?k，

∴?y?3?k?2①或?y?3?k?98②或?y?3?k?14③…10分

2

2

2

2

2

2

?

?y?3?k??98?

?y?3?k??2?

?y?3?k??14

由方程組①得y??45，不合題意，舍去；

由方程組②得y?51，此時(shí)，原方程為x?50x?0，解得x1??50,x2?0（舍去）；由方程組③得y?3，此時(shí)，原方程為x?2x?48?0，解得x1?6,x2??8（舍去）；綜上所述，x?6．

答：這間宿舍里住有6名學(xué)生．…………………………………………………………14分

22

7

數(shù)學(xué)參考答案

11

8．0?k?9．510．(26,0)11．?12212．?13．3

42

三、解答題（本大題共5個(gè)小題，計(jì)66分，寫(xiě)出必要的推算或演算步驟）

14．解：設(shè)在某一時(shí)刻，貨車(chē)與客車(chē)、小轎車(chē)的距離均為S千米，小轎車(chē)、貨車(chē)、客車(chē)的速度分別為a，b，c（千米/分），并設(shè)貨車(chē)經(jīng)x分鐘追上客車(chē)，由題意得

?10(a?b)?S?

?15(a?c)?2S…………………………………………………………………………6分?x(b?c)?S?

∴30（b?c）?S，∴x?30．……………………………………………………10分故30-10-5=15（分）．

答：再過(guò)15分鐘，貨車(chē)追上了客車(chē)．……………………………………………………12分15．解：依題意得

?(6?m)2?4(7?n)?0??(1)?(6?m)2?4(7?n)?0??(1)?2?2

或m?4(3?n)?0????(2)??m?4(3?n)?0????(2)……4分

??22(4?m)?4(5?n)?0??(3)??(4?m)?4(5?n)?0??(3)

由（1）得4n??m?12m?8代入（2）、（3）得又m，n為整數(shù)，?m?2或m?3當(dāng)?m?2時(shí)，n?3；當(dāng)m?3時(shí)，n?

2

5

?m?3或無(wú)解………………7分3

19

（舍）4

?m?2，n?3

則(m?n)

2013

??1……………12分

16．（1）解：根據(jù)題意知：圓半徑PA=

5

，取BC中點(diǎn)為E，連接PB，PE，則PE?BC2

5

，PO=OA=2，由勾股定理和圓性質(zhì)知：2

3

BE=CE=

2

且PB=PA=

5

從而知：B(1,0),C(4,0)…………………………………………………………3分將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，可得：

拋物線(xiàn)的解析式是：y?1x2?5x?2……………………………………6分

2

2

（2）根據(jù)題意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有兩種情況①∠ABD和∠AOB對(duì)應(yīng)，此時(shí)AD是⊙P的直徑則AB=

5

，AD=5，BD=2

5

?Rt?AMB∽R(shí)t?DAB∴MA：AD=AB：BD

即MA=

AB?AD5

?BD2

又?Rt?AMB∽R(shí)t?DMA

∴MA：MD=MB：MA

……………………………………………………10分

②∠BAD和∠AOB對(duì)應(yīng)，此時(shí)BD是⊙P

線(xiàn)MB過(guò)P點(diǎn)

4

即MB·MD=MA2=25

∵B（1，0），P（5,2)

2

∴直線(xiàn)MB的解析式是：y?4x?4

3

3

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，?∴AM=

4

）3

10

由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA3

100

∴MB·MD=MA2=………………………………………………14分

9

17．證:連結(jié)PD,DQ．易證?PAC∽?AMC，

?AMC∽?ACQ，……………………3分

∴∴

PAACACQC

，．??

AMMCAMMC

AC2?PA?QC，………………………………………………7分

∵AC?AD?DC，

6

∴

PAAD

，?

DCQC

∵?PAD??DCQ?60?，

∴?PAD∽?DCQ，…………………………………………………………………………10分∴?APD??CDQ，

∴?PDA??ADC??CDQ?180?，

∴P、D、Q三點(diǎn)共線(xiàn)．……………………………………………………………………14分18．解：這間宿舍住著x名學(xué)生，y名管理員(x,y?N)，

由題意得x(x?1)?xy?y?51，………………………………………………………4分化簡(jiǎn)得x?(y?1)x?y?51?0，

則??(y?1)?4(y?51)?y?6y?205?(y?3)?196，

∵x?N，∴?必為完全平方數(shù)．………………………………………………………6分設(shè)(y?3)?196?k(k?N)，則(y?3?k)(y?3?k)??196，

其中y?3?k和y?3?k具有相同的奇偶性，且y?3?k?y?3?k，

∴?y?3?k?2①或?y?3?k?98②或?y?3?k?14③…10分

2

2

2

2

2

2

?

?y?3?k??98?

?y?3?k??2?

?y?3?k??14

由方程組①得y??45，不合題意，舍去；

由方程組②得y?51，此時(shí)，原方程為x?50x?0，解得x1??50,x2?0（舍去）；由方程組③得y?3，此時(shí)，原方程為x?2x?48?0，解得x1?6,x2??8（舍去）；綜上所述，x?6．

答：這間宿舍里住有6名學(xué)生．…………………………………………………………14分

22

7

從而知：B(1,0),C(4,0)…………………………………………………………3分將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程，可得：

拋物線(xiàn)的解析式是：y?1x2?5x?2……………………………………6分22

（2）根據(jù)題意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有兩種情況①∠ABD和∠AOB對(duì)應(yīng)，此時(shí)AD是⊙P的直徑

則AB=5，AD=5，BD=25?Rt?AMB∽R(shí)t?DAB

∴MA：AD=AB：BD即MA=AB?AD5?BD2

又?Rt?AMB∽R(shí)t?DMA

∴MA：MD=MB：MA

……………………………………………………10分

②∠BAD和∠AOB對(duì)應(yīng)，此時(shí)BD是⊙P

線(xiàn)MB過(guò)P點(diǎn)4即MB·MD=MA2=25∵B（1，0），P（5,2)2∴直線(xiàn)MB的解析式是：y?4x?433∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，?

∴AM=4）310由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA3

100∴MB·MD=MA2=………………………………………………14分9

17．證:連結(jié)PD,DQ．易證?PAC∽?AMC，

?AMC∽?ACQ，……………………3分

∴

∴PAACACQC，．??AMMCAMMC

AC2?PA?QC，………………………………………………7分

∵AC?AD?DC，

6

∴PAAD，?DCQC

∵?PAD??DCQ?60?，

∴?PAD∽?DCQ，…………………………………………………………………………10分∴?APD??CDQ，

∴?PDA??ADC??CDQ?180?，

∴P、D、Q三點(diǎn)共線(xiàn)．……………………………………………………………………14分

18．解：這間宿舍住著x名學(xué)生，y名管理員(x,y?N)，

由題意得x(x?1)?xy?y?51，………………………………………………………4分化簡(jiǎn)得x?(y?1)x?y?51?0，

則??(y?1)?4(y?51)?y?6y?205?(y?3)?196，

∵x?N，∴?必為完全平方數(shù)．………………………………………………………6分設(shè)(y?3)?196?k(k?N)，

則(y?3?k)(y?3?k)??196，

其中y?3?k和y?3?k具有相同的奇偶性，且y?3?k?y?3?k，

∴?y?3?k?2①或?y?3?k?98②或?y?3?k?14③…10分222222??y?3?k??98??y?3?k??2??y?3?k??14

由方程組①得y??45，不合題意，舍去；

由方程組②得y?51，此時(shí)，原方程為x?50x?0，解得x1??50,x2?0（舍去）；由方程組③得y?3，此時(shí)，原方程為x?2x?48?0，解得x1?6,x2??8（舍去）；綜上所述，x?6．

答：這間宿舍里住有6名學(xué)生．…………………………………………………………14分22

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