家長是孩子zui.好的老師，

　　這是奧數(shù)君第1062天給出奧數(shù)題講解。

　　今天的題目是數(shù)論問題，

　　來自北京大學(xué)2009年自主招生考試，

　　詳細講解后初中1年級學(xué)生能聽懂。

　　題目(4星難度)：

　　某次考試共有333名學(xué)生做對了1000道題。做對3道及以下為不及格，6道及以上

　　為優(yōu)秀。問不及格和優(yōu)秀的人數(shù)哪個多?

　　輔導(dǎo)方法：

　　將題目寫給小朋友，

　　讓他自行思考解答，

　　若20分鐘仍然沒有思路，

　　再由家長進行提示性講解。

　　講解思路：

　　這道題屬于綜合應(yīng)用題,

　　由于平均值1000/333更靠近3道，

　　故從直覺上就感覺優(yōu)秀的人不多。

　　解題的方法有很多種，

　　既可以采用極端構(gòu)造問題的方法，

　　構(gòu)造極端條件來說明結(jié)論;

　　也可以采取不等式的方法嚴(yán)格說明。

　　采用第一種方法時很難說清楚，

　　容易出現(xiàn)表述不清的情況，

　　從而讓閱卷人誤解產(chǎn)生丟分。

　　今天我們采用不等式的方法解題。

　　假設(shè)不及格的人數(shù)為x，

　　優(yōu)秀的人數(shù)為y，

　　中間的人數(shù)為z。

　　總的解題思路是：

　　先考慮x與y之間的不等式關(guān)系，

　　再通過討論得到x與y之間的大小。

　　步驟1：

　　先思考第一個問題，

　　考慮x與y之間的不等式關(guān)系。

　　先考慮總得分，

　　由于優(yōu)秀的人每人最少答對6道，

　　故優(yōu)秀的人共答對題目不少于6y道，

　　類似有中間的人共答對題目不少于4z道，

　　而不及格的人共答對題目不少于0道，

　　故6y+4z<=1000,

　　化簡即3y+2z<= 500。

　　接著由總?cè)藬?shù)可得x+y+z=333，

　　即z=333-x-y，代入上面不等式：

　　得到3y+666-2x-2y<= 500，

　　化簡得：y+166<= 2x。

　　步驟2：

　　再思考第二個問題，

　　考慮原題目得答案。

　　在步驟1的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考，

　　對x與166的大小關(guān)系分類討論：

　　第一種情況，當(dāng)x大于166時，

　　x最小是167，由于x+y不大于333，

　　故y一定不大于166，

　　這種情況顯然有x>y;

　　第二種情況，當(dāng)x<=166時，

　　步驟1的不等式即y-x <= x-166,

　　此時有x-166 <=0,

　　故y-x <= x-166<= 0,即x >= y。

　　因此對上面兩種情況都有x >= y。

　　下面我們將說明x可能等于y：

　　如果有166個人每人做對6道題，

　　且有166個人每人做對0道題，

　　且有1個人做對4道題，

　　則此時x=y。

　　所以不及格的人數(shù)不少于優(yōu)秀的人數(shù)。

　　思考題(2星難度)：

　　某次考試共有333名學(xué)生做對了1000道題。做對3道及以下為不及格，4道或5道為及格，6道及以上為優(yōu)秀。問及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)相比哪個多?

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