你知道100⁹⁹和99¹⁰⁰哪個(gè)更大嗎?

　　先看看兩個(gè)數(shù)的含義：

　　你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無論是99個(gè)100，還是100個(gè)99，加起來都是9900。

　　所以這個(gè)問題變成了：如果你把9900拆成幾個(gè)數(shù)的和，然后把它們乘起來，什么時(shí)候乘積最大?

　　小學(xué)時(shí)候，我的數(shù)學(xué)老師教過我這個(gè)問題。他說：把一個(gè)數(shù)拆成幾個(gè)正整數(shù)的和，讓它們的乘積最大，應(yīng)該盡量拆3，拆不了3的，就拆2或者4。這個(gè)時(shí)候乘積就最大。

　　比如，你要12拆成幾個(gè)正整數(shù)的和，再把它們乘起來。你可以拆成12個(gè)1、或者6個(gè)2、或者4個(gè)3、或者3個(gè)4、或者2個(gè)5和1個(gè)2、或者2個(gè)6。它們的乘積是：

　　你發(fā)現(xiàn)沒?把12拆成4個(gè)3，它們的乘積是81，最大。

　　現(xiàn)在，你要把9900拆成一大堆正整數(shù)的和，讓它們的乘積最大，那么應(yīng)該拆成3300個(gè)3，它們的乘積最大：

　　如果拆成100個(gè)99或者99個(gè)100的話，因?yàn)?9離3更近，所以99¹⁰⁰更大。實(shí)際上：

　　這個(gè)結(jié)論有啥用呢?

　　它可以告訴我們：我們平常用的10進(jìn)制和計(jì)算機(jī)的2進(jìn)制，都沒有3進(jìn)制的效率高。

　　具體來說：大家一定見過小孩玩的算珠計(jì)數(shù)器吧!如果給你100個(gè)珠子，你最多能表示出多少個(gè)數(shù)呢?

　　如果計(jì)數(shù)器用10進(jìn)制，那每一位的柱子上需要有10個(gè)珠子(不要跟我爭論9個(gè)珠子也可以，從0到9明明就是10個(gè)數(shù)),100個(gè)珠子可以串滿10根柱子，也就是能表示出十位數(shù)，總共能表示1010個(gè)數(shù);

　　如果用5進(jìn)制，每一根柱子上需要串5個(gè)珠子，一共能串滿20位，也就是能表示520個(gè)數(shù)...

　　以此類推，列一個(gè)表格：

　　你會(huì)發(fā)現(xiàn)：同樣用100個(gè)珠子，使用3進(jìn)制——每根柱子上串3個(gè)珠子，表示33位，效率是最高的，它能表示出最多的數(shù)字!

　　我們還可以把進(jìn)制x作為橫坐標(biāo)，把100個(gè)珠子在這種進(jìn)位制下能表示的數(shù)作為縱坐標(biāo)，畫出一幅圖，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)位制是e=2.71828…時(shí)表示的數(shù)最多!這個(gè)數(shù)就是自然常數(shù)e!它是一個(gè)和圓周率π一樣神奇的無理數(shù)!

　　當(dāng)然，進(jìn)位制應(yīng)該是整數(shù)，就找一個(gè)最靠近e的數(shù)吧——那就是3!

　　我們?cè)谏�活中�?0進(jìn)制，因?yàn)榉奖�，�?jì)算機(jī)普遍采用二進(jìn)制，因?yàn)榉�合電路特點(diǎn)。但實(shí)際上，3進(jìn)制才是效率最高的。美國和蘇聯(lián)其實(shí)都研究過3進(jìn)制計(jì)算機(jī)，不過因?yàn)榉N種原因放棄了。說不定什么時(shí)候，人們重啟了三進(jìn)制計(jì)算機(jī)的研究呢。

　　那么，為什么3有這么神奇的性質(zhì)呢?

　　其實(shí)，這是一個(gè)函數(shù)極值問題。我們要將一個(gè)整數(shù)N拆幾個(gè)x的和，顯然可以拆出N/x個(gè)數(shù)。把它們乘起來，乘積函數(shù)f(x)可以寫作：

　　現(xiàn)在我們要問：x取多少，這個(gè)函數(shù)才最大呢?我們對(duì)這個(gè)函數(shù)取對(duì)數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)：

　　你會(huì)發(fā)現(xiàn)：

　　當(dāng)x

　　當(dāng)x>e時(shí)，lnx>1，導(dǎo)函數(shù)小于0，f(x)是減函數(shù);

　　當(dāng)x=e時(shí)，導(dǎo)函數(shù)等于0，f(x)取最大值。

　　所以，把一個(gè)數(shù)拆自然常數(shù)e的和，這些數(shù)的乘積才是最大的!在自然界中，e進(jìn)制也是效率最高的。如果必須選擇整數(shù)，那就選擇那個(gè)最接近e的整數(shù)——3�，F(xiàn)在，你明白了嗎?

　　作者

　　永樂老師

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