您認(rèn)為高考壓軸應(yīng)不應(yīng)該用成題?

　　2021年高考今天落下帷幕，各省試卷使用情況如網(wǎng)圖所示：

　　全國(guó)甲卷：云南、廣西、貴州、四川、西藏

　　全國(guó)乙卷：河南、山西、江西、安徽、甘肅、青海、內(nèi)蒙古、黑龍江、吉林、寧夏、新疆、陜西

　　新高考一卷：山東、廣東、福建、江蘇、湖南、湖北、河北

　　新高考二卷：海南、重慶、遼寧、

　　地方自主命題省市：北京、天津、上海、浙江

　　迄今，已經(jīng)出現(xiàn)了三份完整的試卷，分別為全國(guó)甲卷、乙卷和新高考一卷�，F(xiàn)在看來(lái)，壓軸題依然是成題。去年高考剛結(jié)束我就寫文章說(shuō)過(guò)此話題(高考?jí)狠S題應(yīng)該不應(yīng)該用成題?)，閱讀量為1.6萬(wàn)，說(shuō)明大家的關(guān)注度還是很高的，并做了個(gè)投票，有2644人參與了投票，結(jié)果如下:

　　從結(jié)果看僅有5%的人贊成用成題，11%的人無(wú)所謂，82%的人覺(jué)得不應(yīng)該。今年投票繼續(xù)，看大家有沒(méi)有改變立場(chǎng)。

　　先說(shuō)清楚兩個(gè)概念：

　　壓軸題：是指高考題中最難的兩個(gè)題，一般是最后兩個(gè)解答題(如果最后一題是選修題，則不算壓軸題)，通常是解析幾何和導(dǎo)數(shù)，有時(shí)候也可能是概率統(tǒng)計(jì)或者立體幾何等。

　　成題：一般指現(xiàn)成的題目，即已經(jīng)在雜志書籍資料或者考試中出現(xiàn)過(guò)的題�？赡苁呛芙�(jīng)典的有上百年的結(jié)構(gòu)或者模型。

　　這三年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷壓軸題成題很多，而這兩年尤甚，幾乎所有的壓軸題都是成題，都能在常見(jiàn)的資料中找到出處。

　　先看全國(guó)甲卷的第20題:

　　此題結(jié)構(gòu)優(yōu)美、結(jié)論簡(jiǎn)潔。但是是非常老的結(jié)構(gòu)，一般稱為彭色列定理，相關(guān)的恒等式稱為歐拉察柏公式，本公眾號(hào)三年前的文章(《圓錐曲線中的歐拉察柏公式相關(guān)問(wèn)題》)基本把相關(guān)問(wèn)題總結(jié)完了，此文也收入了拙作《雞爪定理》[1]的附錄中。在此再溫習(xí)一下：

　　此結(jié)構(gòu)對(duì)兩圓、及兩圓錐曲線都成立，甚至可以推廣到空間中。國(guó)內(nèi)最早見(jiàn)到的是1982年高考?jí)狠S題：

　　此題就是兩個(gè)拋物線的情形，證明完全類似，一般都是用韋達(dá)定理解決。

　　在前面的文章(《拋物線6——圓錐曲線講義之十七》)中，我又提到了這個(gè)題目和韋達(dá)定理的解法。

　　此題還作為2011年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷一試的壓軸題考察過(guò)。

　　此類問(wèn)題還作為2009年清華大學(xué)保送生考試試題，不難發(fā)現(xiàn)上述高考題和此保送生考試題幾無(wú)二致。

　　此題還作為2014年浙江的高考題考察過(guò)。

　　此結(jié)構(gòu)人見(jiàn)人愛(ài)，作為高考、自主招生或者聯(lián)賽都很適合，2017協(xié)作體也作為聯(lián)賽模擬題考察過(guò)。

　　當(dāng)然此結(jié)構(gòu)還作為2009年江西高考文科的壓軸題考察過(guò)。

　　上述題目的證明思路基本都是如出一轍的利用韋達(dá)定理解決即可。具體解答過(guò)程可以參考上述我公眾號(hào)的文章。

　　下面看全國(guó)乙卷的最后一個(gè)壓軸題，

　　此結(jié)構(gòu)也是很經(jīng)典的，一般稱為阿基米德三角形，相關(guān)的文章汗牛充棟。我在圓錐曲線系列中研究過(guò)很多此三角形的性質(zhì)，在文章(拋物線2——圓錐曲線講義之十三)中的問(wèn)題8為:

　　8、動(dòng)直線l過(guò)P與C交于A、B;過(guò)AB的切線交于M，(1)求M的軌跡方程

　　(2)求△MAB面積的最小值;

　　不難發(fā)現(xiàn)上述兩題異曲同工，基本思路都是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出交點(diǎn)及三角形面積表達(dá)式，到此都是完全相同的。然后將交點(diǎn)帶入限制條件中(我那題點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，本題中點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng))，利用函數(shù)或均值不等式求出最值即可。

　　最后看新高考全國(guó)1卷的最后一個(gè)壓軸題：

　　這還是一個(gè)老生常談的問(wèn)題，比較早的資料中都有，例如1983年出版的《數(shù)學(xué)題解辭典(平面解析幾何)》[2]中多次提到此結(jié)論，最后在一般的圓錐曲線中將其證明并系統(tǒng)的介紹其退化的情形如下：

　　其證明思路基本上要么用曲線系秒殺，要么用參數(shù)方程巧算，當(dāng)然直接聯(lián)立蠻算亦可。

　　我在《圓錐曲線系列講義之九》也講到了此兩種情形，并提示用參數(shù)方程計(jì)算比較方便。

　　當(dāng)然此結(jié)論在全國(guó)卷的高考題中也是屢見(jiàn)不鮮，例如

　　其退化的情形也是高考中的常見(jiàn)問(wèn)題，例如：

　　2011年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試的最后一題為此題逆命題;

　　由以上不難發(fā)現(xiàn)此三個(gè)問(wèn)題都是非常古老的問(wèn)題，作為平時(shí)測(cè)試和練習(xí)非常合適。但是作為高考真題并不合適，因?yàn)檫@很不公平。對(duì)于熟悉此結(jié)構(gòu)的學(xué)生基本就是默寫答案，而沒(méi)見(jiàn)過(guò)此結(jié)構(gòu)的學(xué)生絞盡腦汁也無(wú)法在短時(shí)間內(nèi)解決。

　　您覺(jué)得呢?

　　參考文獻(xiàn)

　　1 雞爪定理 金磊 2020年6月 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社

　　2 數(shù)學(xué)題解辭典(平面解析幾何) 唐秀穎 1983年 上海 辭書出版社

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